Câu hỏi:

Gọi $T$ là tổng số tiền phạt thu được (đơn vị: nghìn đồng). Ta có:
$T = N \left[ x t_1 + (x + x - 20)t_2 \right] = 2400 \left[ \frac{36x}{x+10} + \frac{4(2x-20)}{x-30} \right] = 2400 \left[ \frac{36x}{x+10} + \frac{8(x-10)}{x-30} \right]$
$T = 2400 \left[ 36 - \frac{360}{x+10} + 8 + \frac{80}{x-30} \right] = 2400 \left[ 44 + \frac{80}{x-30} - \frac{360}{x+10} \right] = 2400 \left[ 44 + \frac{80(x+10) - 360(x-30)}{(x-30)(x+10)} \right]$
$T = 2400 \left[ 44 + \frac{80x + 800 - 360x + 10800}{x^2 -20x - 300} \right] = 2400 \left[ 44 + \frac{-280x + 11600}{x^2 - 20x - 300} \right]$
$T = 2400 \left[ 44 + \frac{-280x + 11600}{x^2 - 20x - 300} \right]$
Xét hàm số $f(x) = \frac{-280x + 11600}{x^2 - 20x - 300}$ trên $[60; 300]$
$f'(x) = \frac{(-280)(x^2 - 20x - 300) - (-280x + 11600)(2x-20)}{(x^2 - 20x - 300)^2} = \frac{-280x^2 + 5600x + 84000 - (-560x^2 + 5600x + 23200x - 232000)}{(x^2 - 20x - 300)^2}$
$f'(x) = \frac{280x^2 - 23200x + 316000}{(x^2 - 20x - 300)^2} = \frac{280(x^2 - \frac{580}{7}x + \frac{7900}{7})}{(x^2 - 20x - 300)^2}$
Xét $g(x) = x^2 - \frac{580}{7}x + \frac{7900}{7}$
$\Delta' = (\frac{290}{7})^2 - \frac{7900}{7} = \frac{84100}{49} - \frac{55300}{49} = \frac{28800}{49} > 0$
Phương trình $g(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt
$x_1 = \frac{\frac{290}{7} - \sqrt{\frac{28800}{49}}}{1} = \frac{290 - 120\sqrt{2}}{7} \approx 15.15$
$x_2 = \frac{290 + 120\sqrt{2}}{7} \approx 67.71$
Vậy $f'(x) = 0$ khi $x \approx 67.71$
Tính $f(60) = \frac{-280(60) + 11600}{60^2 - 20(60) - 300} = \frac{-16800 + 11600}{3600 - 1200 - 300} = \frac{-5200}{2100} = -\frac{52}{21} \approx -2.48$
$f(67.71) = \frac{-280(67.71) + 11600}{(67.71)^2 - 20(67.71) - 300} = \frac{-18958.8 + 11600}{4584.64 - 1354.2 - 300} = \frac{-7358.8}{2930.44} \approx -2.51$
$f(300) = \frac{-280(300) + 11600}{300^2 - 20(300) - 300} = \frac{-84000 + 11600}{90000 - 6000 - 300} = \frac{-72400}{83700} = -\frac{724}{837} \approx -0.86$
Vậy $f(x)$ đạt min tại $x \approx 67.71$
Suy ra $T = 2400[44 - 2.51] = 2400(41.49) \approx 99576$ nghìn đồng $\approx 99.576$ triệu đồng.
Vì $x$ phải là số nguyên, ta xét $x = 67$ và $x=68$.
Nếu $x=67$, $T = 2400[44 + \frac{-280(67) + 11600}{67^2 - 20(67) - 300}] = 2400[44 + \frac{-18760 + 11600}{4489 - 1340 - 300}] = 2400[44 + \frac{-7160}{2849}] \approx 2400(41.49) = 99576$
Nếu $x = 68$, $T = 2400[44 + \frac{-280(68) + 11600}{68^2 - 20(68) - 300}] = 2400[44 + \frac{-19040 + 11600}{4624 - 1360 - 300}] = 2400[44 + \frac{-7440}{2964}] \approx 2400(41.48) = 99552$
Vậy tổng số tiền ít nhất là khoảng 100 triệu đồng, làm tròn là 100 triệu đồng. Do đó đáp án là 32 (làm tròn đến hàng đơn vị).