Câu hỏi:

Ta có phương trình: $\sin(2x - \frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4} - x)$
$\Leftrightarrow \sin(2x - \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - x)) = \sin(\frac{\pi}{4} + x)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + x + k2\pi \\ 2x - \frac{3\pi}{4} = \pi - (\frac{\pi}{4} + x) + k2\pi \end{cases}$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \pi + k2\pi \\ 3x = \frac{6\pi}{4} + k2\pi \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3} \end{cases}$
Xét $x = \pi + k2\pi$, vì $x \in (0; 2\pi)$ nên $0 < \pi + k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$. Vậy $k = 0$ và $x = \pi$. (1 nghiệm)
Xét $x = \frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3}$, vì $x \in (0; 2\pi)$ nên $0 < \frac{\pi}{2} + k\frac{2\pi}{3} < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{3}{4} < k < \frac{9}{4}$. Vậy $k \in \{0, 1, 2\}$ và $x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$. (3 nghiệm)
Vậy phương trình có $1 + 3 = 4$ nghiệm trong khoảng $(0; 2\pi)$.

Ta có $\sin x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin x + 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x(1+2\cos x) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin x = 0 \\ \cos x = -\frac{1}{2}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k\pi \\ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\end{array}\right.$
Xét $x = k\pi$. Vì $x \in [0; 2\pi]$ nên $k = 0, 1, 2$. Suy ra $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$
Xét $x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$. Vì $x \in [0; 2\pi]$ nên $k = 0$. Suy ra $x = \frac{2\pi}{3}$
Xét $x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi$. Vì $x \in [0; 2\pi]$ nên $k = 1$. Suy ra $x = \frac{4\pi}{3}$
Vậy tổng các nghiệm là $0 + \pi + 2\pi + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 5\pi$.

Ta có: ${4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow {({2^2})^{x - 1}} = {({2^3})^{3 - 2x}} \Leftrightarrow {2^{2x - 2}} = {2^{9 - 6x}} \Leftrightarrow 2x - 2 = 9 - 6x \Leftrightarrow 8x = 11 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}$.
Vậy đáp án là A.

Ta có phương trình ${3^{{x^2} + 1}} = 9$ tương đương với ${3^{{x^2} + 1}} = 3^2$.

Suy ra ${x^2 + 1 = 2}$

${x^2 = 1}$

$x = 1$ hoặc $x = -1$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm thực.

Giải phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0$
Ta có: $2{x^2} - 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = 2\end{array} \right.$
Điều kiện để $\log_x(7x-6)$ có nghĩa là $x>0, x \ne 1, 7x-6>0 \Leftrightarrow x>\frac{6}{7}, x \ne 1$.
Vậy $x=\frac{1}{2}$ loại.
Xét ${\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow {\log }_x}\left( {7x - 6} \right) = 2 \Leftrightarrow 7x - 6 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$
$x=1$ loại vì điều kiện $x\ne 1$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=2$ và $x=6$. Tổng các nghiệm là $2+6=8$.
Vậy đáp án đúng là $2+6 = 8$. Đáp án C sai.
Sửa lại đề bài thành: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0$ bằng bao nhiêu?
Nghiệm của $2x^2 - 5x + 2 = 0$ là $x = \frac{1}{2}$ và $x = 2$.
Nghiệm của $\log_x(7x-6) - 2 = 0$ là $x=1$ và $x=6$.
Điều kiện: $x > 0, x \ne 1$ và $7x-6 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{6}{7}$.
Vậy $x = 1$ và $x = \frac{1}{2}$ loại.
Vậy nghiệm là $x = 2$ và $x = 6$. Tổng là $2 + 6 = 8$ (Không có trong đáp án).
Xem xét lại phương trình $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0$.
Ta có $2x^2 - 5x + 2 = (2x-1)(x-2)$, vậy $x=2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.
$\{\log_x(7x-6) - 2 = 0 \Leftrightarrow \log_x(7x-6) = 2 \Leftrightarrow 7x-6 = x^2 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-6) = 0$, vậy $x=1$ hoặc $x=6$.
Điều kiện: $x>0, x \ne 1, 7x-6 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{6}{7}$ và $x \ne 1$.
Vậy $x=\frac{1}{2}$ và $x=1$ loại.
Vậy $x=2$ và $x=6$ là nghiệm. Tổng là $2+6=8$ (không có trong đáp án).
Kiểm tra lại đề bài, có lẽ sai sót ở đâu đó.
Nếu đề là $\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_{(7x-6)}}x - \frac{1}{2}} \right] = 0$ thì sao?
Thì $2x^2 - 5x + 2 = 0$ có nghiệm $x=2$ và $x = \frac{1}{2}$.
${\log_ {(7x-6)}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{7x-6} \Leftrightarrow x^2 = 7x-6 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-6) = 0$, vậy $x=1$ hoặc $x=6$.
Điều kiện: $x>0, 7x-6>0, 7x-6 \ne 1 \Leftrightarrow x > \frac{6}{7}$ và $x \ne 1$.
Vậy $x=\frac{1}{2}$ và $x=1$ loại.
Vậy nghiệm là $x=2$ và $x=6$, tổng là $2+6=8$.
Đáp án D là $\frac{19}{2} = 9.5$. Đề có lẽ bị sai.