Câu hỏi:

Gọi A là biến cố người thứ nhất câu được cá. B là biến cố người thứ hai câu được cá. C là biến cố người thứ ba câu được cá.

Khi đó ta có: \(P(A)=0,5; P(B)=0,4; P(C)=0,3\)

Suy ra \(P(\bar{A})=0,5; P(\bar{B})=0,6; P(\bar{C})=0,7\)

Gọi \(Z\) là biến cố người thứ ba luôn luôn câu được cá.

Ta có :

\(\begin{align}P(Z) & =P(A) P(B) P(C)+P(\bar{A}) P(B) P(C)+P(A) P(\bar{B}) P(C)+P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(C) \\& =0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,3+0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,3+0,5 \cdot 0,6 \cdot 0,3+0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,3=0,3\end{align}\)

Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{A B}=(2;-1;-2), \overrightarrow{C D}=(1; 4;-1), \overrightarrow{A D}=(2; 2; 1), \overrightarrow{A C}=(1;-2; 2)\).

Suy ra \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=2.1+(-1) \cdot 4+(-2) \cdot(-1)=0\). Vậy \(A B \perp C D\).

Ta có \(A M D=(\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{M D})\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\), ta có tọa độ điểm \(M\left(\frac{5}{2}; \frac{3}{2};-2\right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{M A}=\left(-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; 0\right)\) và \(\overrightarrow{M D}=\left(\frac{1}{2}; \frac{7}{2}; 1\right)\).

Từ đó ta có:

\(\cos (\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M D})=\frac{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2}+0.1}{\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Suy ra \((\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M D})=54,74^{\circ} \approx 55^{\circ}\).

Ta có \([\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}]=(2; 2; 1)\), khi đó \(|[\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}|=9\).

Ta có thể tích của khối tứ diện

\(V_{A B C D}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}|=\frac{1}{6} \cdot 9=3\).

Ta cần tính độ dài ba cạnh của tam giác.

\(\begin{align}& \overrightarrow{C D}=(1; 4;-1) \Rightarrow C D=|\overrightarrow{C D}|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}=3 \sqrt{2}. \\& B C=|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{(2-3)^{2}+(1-2)^{2}+(0-(-4))^{2}}=3 \sqrt{2}. \\& B D=|\overrightarrow{B D}|=\sqrt{(3-3)^{2}+(5-2)^{2}+(-1-(-4))^{2}}=3 \sqrt{2}.\end{align}\)

Vậy tam giác \(B C D\) là tam giác đều.

Khi đó diện tích tam giác đều \(B C D\) bằng: \(\frac{\sqrt{3}}{4}(3 \sqrt{2})^{2}=\frac{9 \sqrt{3}}{2}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(A B. \triangle S A B\) đều \(\Rightarrow S H \perp A B\) và \(S H=\frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Vì \(\left\{\begin{array}{l}(S A B) \perp(A B C D) \\ (S A B) \cap(A B C D)=A B \\ S H \perp A B\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow S H \perp(A B C D)\)

Thể tích hình chóp là: \(V=\frac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{A B C D}=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a^{2}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}\) (đvtt).