Câu hỏi:

Gọi $a, b, c$ lần lượt là độ dài các cạnh $AB, AD, AA'$ của hình hộp chữ nhật. Khoảng cách từ $A$ đến $(A'BD)$ là $h = 10$. Ta có công thức: $\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ $\frac{1}{10^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ Thể tích của hình hộp là $V = abc$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\frac{1}{a^2}, \frac{1}{b^2}, \frac{1}{c^2}$ ta có: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}$ $\frac{1}{100} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}$ $\frac{1}{100^3} \ge 27 \frac{1}{a^2b^2c^2}$ $a^2b^2c^2 \ge 27.100^3$ $V = abc \ge \sqrt{27.100^3} = \sqrt{27}.100.\sqrt{100} = 3\sqrt{3}.1000 = 3000\sqrt{3} \approx 5196.15$ Khi $a=b=c$ thì $V$ đạt giá trị nhỏ nhất. Từ $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{100}$ và $a=b=c$ suy ra $\frac{3}{a^2} = \frac{1}{100} \Rightarrow a^2 = 300 \Rightarrow a = 10\sqrt{3}$ Vậy $V_{min} = a^3 = (10\sqrt{3})^3 = 1000.3\sqrt{3} = 3000\sqrt{3} \approx 5196.15$ Nhưng đề bài cho khoảng cách từ A đến (A'BD) bằng 10. Gọi a, b, c là 3 kích thước. Ta có: $V = abc$ và $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{100}$. Áp dụng BĐT Cauchy: $\frac{1}{100} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}$ $\Rightarrow \frac{1}{100^3} \ge \frac{27}{a^2b^2c^2} \Rightarrow (abc)^2 \ge 27.100^3 \Rightarrow abc \ge \sqrt{27.10^6} = 3000\sqrt{3} \approx 5196.15$ Vậy $V_{min} \approx 5196.15$ . Đề bài yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị. Đáp án sai.