Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ: Đồ thị hàm số \(y=|f(x-2001)-2019|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^{3}-3 m x^{2}+6 m x-8\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?

Lời giải:

Đáp án đúng: -1

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^{3}-3 m x^{2}+6 m x-8=0\,\,(*)\)

Phương trình (*) có 3 nghiệm lập thành \(\mathrm{CSC} \Rightarrow\) Phương trình luôn có 1 nghiệm: \(x=\frac{-b}{3 a}=m\)

Thay \(x=m\) vào phương trình \((*)\) ta được: \(m^{3}-3 m^{3}+6 m^{2}-8=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1 \\ m=2\end{array}\right.\)

Thay lại các giá trị của \(m\) vào phương trình \((*)\) ta thấy giá trị \(m=-1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 21:

Một tạp chí bán được 25 nghìn đồng một cuốn tạp chí. Chi phí xuất bản \(x\) cuốn tạp chí được cho bởi công thức: \(\mathrm{C}(x)=0,0001 x^{2}-0,2 x+11000\) vạn đồng (bao gồm: lương cán bộ,công nhân viên, \(\ldots\) ).

Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6000 đồng. Các khoản thu chi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cáo. Giả sử số cuốn in ra được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có được khi bán tạp chí (làm tròn đến chữ số hàng chục nghìn)

Lời giải:

Đáp án đúng: 100250

Tổng thu khi bán hết \(x\) cuốn tạp chí là \(T(x)=25 x+100000\) nghìn đồng

Tổng chi phí cho \(x\) cuốn tạp chí là

\(f(x)=0,001 x^{2}-2 x+110000+6 x=0,001 x^{2}+4 x+110000 \text { nghìn đồng }\)

Số tiền lãi thu được là:

\(25 x+100000-0,001 x^{2}-4 x-110000=-0,001 x^{2}+21 x-10000 \text { nghìn đồng }\)

Đặt \(g(x)=-0,001 x^{2}+21 x-10000\)

Dễ thấy \(g(x)\) là hàm số bậc 2 , hệ số \(a=-0,001<0\) nên \(g(x)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x=\frac{21}{2 \cdot 0,001}=10500 \Rightarrow \max g(x)=100250\) nghìn đồng.

Câu 22:

Giả sử chiều cao (tính bằng cm ) của một giống cây trồng (trong vòng 1 số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số: \(f(t)=\frac{200}{1+4 e^{-t}}, t \geq 0\). Trong đó , thời gian \(t\) được tính bằng tháng kể từ khi hạt bắt đầu nảy mầm. Khi đó đạo hàm \(f^{\prime}(t)\) sẽ biểu thị tốc độ tăng chiều cao của giống cây đó. Hỏi sau khi hạt giống bắt đầu nảy mầm thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng chiều cao của cây là lớn nhất?

*Kết quả lấy phần nguyên

Lời giải:

Đáp án đúng: 1

\(f(t)=\frac{200}{1+4 e^{-t}} \Rightarrow f^{\prime}(t)=200 \cdot \frac{-4 e^{-t}(-1)}{\left(1+4 e^{-t}\right)}=200 \cdot \frac{4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)}\)

\(f^{\prime \prime}(t)=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)^{2}-2\left(1+4 e^{-t}\right)\left(-4 e^{-t}\right) \cdot 4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1+4 e^{-t}-8 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1-4 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}}\)

\(f^{\prime \prime}(t)=0 \Leftrightarrow e^{-t}=\frac{1}{4} \Rightarrow t=-\ln \left(\frac{1}{4}\right)=\ln 4\)

Bảng biến thiên:

Pasted image

Vậy sau khi hạt nảy mầm khoảng \(\ln 4 \approx 1,38\) tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất.

Câu 23:

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là \(0,91 \%\). Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hàng năm, hãy ước tính dân số quốc gia đó vào năm 2030

*Kết quả lấy phần nguyên

Lời giải:

Đáp án đúng: 106

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội \(\mathrm{q}=1,0091\).

Dân số của quốc gia đó năm 2030 tức \(\mathrm{n}=11\) là: \(\mathrm{u}_{11}=97 \cdot 1,0091^{10}=106,197\) triệu người.

Câu 24:

Biết rằng gia đình cô Xuân có hai người con. Tính xác suất 2 người con đều là gái, biết rằng có ít nhất 1 người là con gái?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

\(\Omega=\{G G ; G T ; T G, T T\}\)

Số phần tử không gian mẫu: \(n_{\Omega}=4\)

Gọi \(A\) là biến cố: "2 người con đều là gái"

Gọi \(B\) là biến cố: "Có ít nhất một người con là gái"

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n_{A}=1\)

Số phần tử của biến cố \(B\) là \(n_{B}=3\)

\(\Rightarrow n(A \cap B)=1\)

\(P(A \mid B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{1}{3}\).

Câu 25:

Biết rằng gia đình cô Xuân có hai người con. Xác suất hai người con đều là con gái biết rằng người con đầu là con gái là:

Lời giải: