Câu hỏi:

Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\), nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M(x;y;0)\).

Ta có:

\(A{{M}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(0-4)}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+16\).

\(B{{M}^{2}}={{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(0-2)}^{2}}={{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+4\).

\(C{{M}^{2}}={{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(0+12)}^{2}}={{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+144\).

Theo đề bài, ta có \(A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}=174\).

Thay các biểu thức đã tính ở trên vào, ta được:

\(\begin{align}  & {{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+16+{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+4+{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+144 \\  & =174. \\ \end{align}\)

Khai triển và rút gọn phương trình trên, ta được:

\( {{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-6y+9+16+{{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}-2y+1+4 +{{x}^{2}}-6x+9+{{y}^{2}}-4y+4+144 =174\)

\(3{{x}^{2}}-6x+3{{y}^{2}}-12y+188=174\)

\(3{{x}^{2}}-6x+3{{y}^{2}}-12y+14=0\)

\({{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-4y+\frac{14}{3}=0\).

Để tìm tọa độ của \(M\), ta hoàn thành phương trình bằng cách đưa về dạng chính tắc của đường tròn:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   ({{x}^{2}}-2x+1)+({{y}^{2}}-4y+4) & =1+4-\frac{14}{3}  \\   {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}} & =\frac{15}{3}-\frac{14}{3}  \\   {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}} & =\frac{1}{3}.  \\ \end{array}\)

Phương trình \({{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=\frac{1}{3}\) là phương trình của một đường tròn tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Vậy, tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện đề bài là đường tròn có tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Do đó, hoành độ của điểm \(M\) là 1 và tung độ của điểm \(M\) là 2.

Vậy, hoành độ của điểm \(M\) là 1 và tung độ của điểm \(M\) là 2.

a) Sai.

Ta có:

\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3{{u}_{n}}-7-{{u}_{n}}=2{{u}_{n}}-7\).

Vì hiệu phụ thuộc vào \({{u}_{n}}\) nên không cố định.

\(\Rightarrow \) Dãy không phải cấp số cộng \(\Rightarrow \) Sai.

b) Sai.

Ta có:

\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{3{{u}_{n}}-7}{{{u}_{n}}}=3-\frac{7}{{{u}_{n}}}\).

Vì tỉ số thay đổi theo \(n\) nên không cố định.

\(\Rightarrow \) Dãy không phải cấp số nhân \(\Rightarrow \) Sai.

c) Sai.

Ta có:

\({{v}_{n+1}}={{u}_{n+1}}+\alpha =3{{u}_{n}}-7+\alpha =3({{v}_{n}}-\alpha )-7+\alpha =3{{v}_{n}}-2\alpha -7\).

Để \(({{v}_{n}})\) là cấp số nhân với công bội \(q=3\), ta cần:

\({{v}_{n+1}}=3{{v}_{n}}\Rightarrow 3{{v}_{n}}-2\alpha -7=3{{v}_{n}}\Rightarrow -2\alpha -7=0\Rightarrow \alpha =-\frac{7}{2}\).

Đề cho \(\alpha =\frac{7}{3}\ne -\frac{7}{2}\).\(\Rightarrow \) Sai.

d) Đúng.

Giải phương trình truy hồi:

\({{u}_{n+1}}=3{{u}_{n}}-7\).

Đặt nghiệm tổng quát:

\({{u}_{n}}=A. {{3}^{n}}+B\).

Tìm nghiệm riêng: đặt \({{u}_{n}}=c\Rightarrow c=3c-7\Rightarrow c=\frac{7}{2}\).

Nghiệm tổng quát:

\({{u}_{n}}=A. {{3}^{n}}+\frac{7}{2}\).

Thay \({{u}_{1}}=5\) vào:

\(5=A. 3+\frac{7}{2}\Rightarrow 3A=\frac{3}{2}\Rightarrow A=\frac{1}{2}\).

Vậy:

\({{u}_{n}}=\frac{1}{2}. {{3}^{n}}+\frac{7}{2}=\frac{{{3}^{n}}+7}{2}\).

Trùng khớp với công thức đề cho \(\Rightarrow \) Đúng.

Phương trình cho là:

\(\ln \left( \frac{{{4}^{y}}+1}{x} \right)=\ln (x+1)-y\ln 4\).

Biến đổi vế phải:

\(\ln (x+1)-y\ln 4=\ln (x+1)-\ln ({{4}^{y}})=\ln \left( \frac{x+1}{{{4}^{y}}} \right)\).

Khi đó:

\(\frac{{{4}^{y}}+1}{x}=\frac{x+1}{{{4}^{y}}}\Rightarrow ({{4}^{y}}+1). {{4}^{y}}=x(x+1)\).

Đặt \(t={{4}^{y}}\), ta có:

\(t(t+1)=x(x+1)\Rightarrow x=t={{4}^{y}}\).

Vì \(1\le x\le 2023\Rightarrow {{4}^{y}}\le 2023\).

Ta có:

\({{4}^{1}}=4,\ {{4}^{2}}=16,\ {{4}^{3}}=64,\ {{4}^{4}}=256,\ {{4}^{5}}=1024,\ {{4}^{6}}=4096\).

\(\Rightarrow y\in \{1,2,3,4,5\}\) \(\Rightarrow \) \(5\) cặp số (x, y).

Mặt phẳng \((AMN)\) cắt khối hộp.

Do \(BM = DN = \frac{a}{3}\), mặt phẳng này sẽ cắt cạnh \(CC'\) tại điểm \(E\) sao cho \(C'E = \frac{a}{3}\).

Thể tích \(V_1\) là thể tích của khối đa diện chứa \(A'\).

Để tính \(V_1\), ta có thể sử dụng phương pháp tính gián tiếp bằng cách tính thể tích của toàn bộ khối hộp và trừ đi phần thể tích không thuộc \(V_1\).

Thể tích \(V_2\) là thể tích phần còn lại của khối hộp.

Ta có \(V_2 = V - V_1\), với \(V\) là thể tích của khối hộp.

Ta sẽ tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{V_1}{V - V_1}\).

Theo các bài toán tương tự, ta có thể sử dụng công thức tỉ lệ thể tích.

Với \(BM = DN = \frac{a}{3}\), ta có thể suy ra tỉ lệ giữa các phần thể tích.

Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng tỉ lệ:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{A'B'}{BM} = \frac{a - x}{x}\)

với \(x = \frac{a}{3}\). Thay số vào, ta có:,

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{a - \frac{a}{3}}{\frac{a}{3}} = \frac{\frac{2a}{3}}{\frac{a}{3}} = 2\)

Vậy, tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\) là 2.

Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\), góc giữa mặt bên và đáy là \({{60}^{{}^\circ }}\).

Gọi M, N, P là trung điểm của các đoạn SA, SC, BC.

Tính thể tích tứ diện DMNP.

Góc giữa cạnh bên và đáy là \({{60}^{{}^\circ }}\), nên \(SA=2\), suy ra chiều cao:

\(SO=SA. \sin {{60}^{{}^\circ }}=2. \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\).

Gán tọa độ: \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(D(1,\sqrt{3},0)\), \(S(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})\).

Trung điểm:

\(M=\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\) \(N=\left( 2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\) \(P=\left( \frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0 \right)\).

Dùng công thức thể tích tứ diện:

\(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{DM}. \left( \overrightarrow{DN}\times \overrightarrow{DP} \right) \right|=\frac{\sqrt{110}}{24}\).

Vậy thể tích tứ diện DMNP là \(\frac{\sqrt{110}}{24}\).