Câu hỏi:

Xét hàm số \(g(x)=f\left(x^{2}-2 x+m\right) \Rightarrow y=f\left(x^{2}-2|x|+m\right)=g(|x|)\) có đúng 9 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(g(x)\) có đúng 4 điểm cực trị dương.

Từ đồ thị hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) ta có: \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2 \\ x=-1 \ x=1 \\ x=2\end{array}\right.\) trong đó \(x=2\) là nghiệm bội chẵn.

Khi đó, \(g^{\prime}(x)=2(x-1) f^{\prime}\left(x^{2}-2 x+m\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ f^{\prime}\left(x^{2}-2 x+m\right)=0\end{array}\right.\)

Xét \(f^{\prime}\left(x^{2}-2 x+m\right)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}-2 x+m=-2 \\ x^{2}-2 x+m=-1 \\ x^{2}-2 x+m=1\end{array}\right.\) (loại từ nghiệm của phương trình \(x^{2}-2 x+m=2\) là bội chẵn)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-m=x^{2}-2 x+2 \\ -m=x^{2}-2 x+1 \\ -m=x^{2}-2 x-1\end{array}\right.(*)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) có đúng 4 điểm cực trị dương \(\Leftrightarrow\) (*) có đúng 3 nghiệm (đơn hoặc bội lẻ) dương khác 1. Vẽ ba đường cong parabol \(\left(P_{1}\right): y=x^{2}-2 x+2 ;\left(P_{2}\right): y=x^{2}-2 x+1 ;\left(P_{3}\right): y=x^{2}-2 x-1\) trên cùng một hệ trục tọa độ như hình

Yêu cầu bài toán tương đương với đường thẳng \(y=-m\) cắt \(\left(P_{1}\right),\left(P_{2}\right),\left(P_{3}\right)\) tại đúng 3 điểm (không có điểm nào tiếp xúc) có hoành độ dương khác 1\( \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-m \geq 2 \\ 0<-m<1\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-2 \\ -1<m<0\end{array}\right.\right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}, m \in[-10 ; 10] \Rightarrow m \in\{-10 ;-9 ; \ldots ;-4 ;-3 ;-2\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là \(-54\).

Chọn \(a=1\) ta có hệ trục tọa độ \(O x y z\) sao cho \(D(0 ; 0 ; 0), A^{\prime}(1 ; 0 ; 1), K\left(0 ; 0 ; \frac{1}{2}\right)\) và \(C(0 ; 1 ; 0)\)

Ta có \(\overrightarrow{D A^{\prime}}=(1 ; 0 ; 1) ; \overrightarrow{C K}\left(0 ;-1 ; \frac{1}{2}\right)\) và \(\overrightarrow{D K}\left(0 ; 0 ; \frac{1}{2}\right)\)

Ta có \(\left[\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{C K}\right]=\left(1 ;-\frac{1}{2} ;-1\right),\left[\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{C K}\right] \cdot \overrightarrow{D K}=-\frac{1}{2}\)

Do đó \(d\left(D A^{\prime}, C K\right)=\frac{\left|-\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{3}\). Vậy \(d\left(D A^{\prime}, C K\right)=\frac{a}{3}\).

Bước 1. Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm

\(\begin {array} ,0,8 & 1,2 & 1,3 & 1,9 & 2,5 & 2,8 & 3,4 & 3,5 & 4,21 & 4,6 \end {array}\)

Bước 2. Xác định xem số các số liệu là số chẵn hay số lẻ để tìm trung vị:

Mẫu số liệu trên có 10 số. Số thứ năm và số thứ sáu lần lượt là 2,5 và 2,8.

Vì vậy \(M_{e}=\frac{2,5+2,8}{2}=2,65\) (phút).

Ta có \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x-1 & \text { khi } & x \geq 1 \\ -(x-1) & \text { khi } & x<1\end{array}\right.\).

Khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\int(x-1) \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}-x+C_{1}\).

Khi \(x<1\) thì \(f(x)=-\int(x-1) \mathrm{d} x=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{2}\).

Theo đề bài ta có \(f(0)=3\) nên \(C_{2}=3 \Rightarrow f(x)=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\) khi \(x<1\).

Mặt khác do hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\) nên \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)\)

\(\Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\right]=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left[\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{1}\right]\)

\(\Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)+3=\frac{1}{2}-1+C_{1} \Leftrightarrow C_{1}=4\)

Vậy khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}-x+4\).

\(\Rightarrow f(2)+f(4)=12\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\).

Do đó \(u_{5}=3.2^{4}=48\).