Câu hỏi:

Phương trình cho là:

\(\ln \left( \frac{{{4}^{y}}+1}{x} \right)=\ln (x+1)-y\ln 4\).

Biến đổi vế phải:

\(\ln (x+1)-y\ln 4=\ln (x+1)-\ln ({{4}^{y}})=\ln \left( \frac{x+1}{{{4}^{y}}} \right)\).

Khi đó:

\(\frac{{{4}^{y}}+1}{x}=\frac{x+1}{{{4}^{y}}}\Rightarrow ({{4}^{y}}+1). {{4}^{y}}=x(x+1)\).

Đặt \(t={{4}^{y}}\), ta có:

\(t(t+1)=x(x+1)\Rightarrow x=t={{4}^{y}}\).

Vì \(1\le x\le 2023\Rightarrow {{4}^{y}}\le 2023\).

Ta có:

\({{4}^{1}}=4,\ {{4}^{2}}=16,\ {{4}^{3}}=64,\ {{4}^{4}}=256,\ {{4}^{5}}=1024,\ {{4}^{6}}=4096\).

\(\Rightarrow y\in \{1,2,3,4,5\}\) \(\Rightarrow \) \(5\) cặp số (x, y).

Mặt phẳng \((AMN)\) cắt khối hộp.

Do \(BM = DN = \frac{a}{3}\), mặt phẳng này sẽ cắt cạnh \(CC'\) tại điểm \(E\) sao cho \(C'E = \frac{a}{3}\).

Thể tích \(V_1\) là thể tích của khối đa diện chứa \(A'\).

Để tính \(V_1\), ta có thể sử dụng phương pháp tính gián tiếp bằng cách tính thể tích của toàn bộ khối hộp và trừ đi phần thể tích không thuộc \(V_1\).

Thể tích \(V_2\) là thể tích phần còn lại của khối hộp.

Ta có \(V_2 = V - V_1\), với \(V\) là thể tích của khối hộp.

Ta sẽ tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{V_1}{V - V_1}\).

Theo các bài toán tương tự, ta có thể sử dụng công thức tỉ lệ thể tích.

Với \(BM = DN = \frac{a}{3}\), ta có thể suy ra tỉ lệ giữa các phần thể tích.

Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng tỉ lệ:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{A'B'}{BM} = \frac{a - x}{x}\)

với \(x = \frac{a}{3}\). Thay số vào, ta có:,

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{a - \frac{a}{3}}{\frac{a}{3}} = \frac{\frac{2a}{3}}{\frac{a}{3}} = 2\)

Vậy, tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\) là 2.

Hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\), góc giữa mặt bên và đáy là \({{60}^{{}^\circ }}\).

Gọi M, N, P là trung điểm của các đoạn SA, SC, BC.

Tính thể tích tứ diện DMNP.

Góc giữa cạnh bên và đáy là \({{60}^{{}^\circ }}\), nên \(SA=2\), suy ra chiều cao:

\(SO=SA. \sin {{60}^{{}^\circ }}=2. \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\).

Gán tọa độ: \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(D(1,\sqrt{3},0)\), \(S(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})\).

Trung điểm:

\(M=\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\) \(N=\left( 2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\) \(P=\left( \frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0 \right)\).

Dùng công thức thể tích tứ diện:

\(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{DM}. \left( \overrightarrow{DN}\times \overrightarrow{DP} \right) \right|=\frac{\sqrt{110}}{24}\).

Vậy thể tích tứ diện DMNP là \(\frac{\sqrt{110}}{24}\).

Ta xét trong một khoảng thời gian nhất định là 1 giờ.

Như vậy sẽ có 5 chuyến tàu vụt qua và 15 chuyến tàu đi ngược, vậy trung bình trong 1 giờ sẽ có 20 chuyến tàu, vậy cứ 3 phút sẽ có 1 chuyến tàu hay cứ sau mỗi 3 phút sẽ có một tàu rời bến.

Phương trình đã cho là:

\(m\sin x+(m-1)\cos 2x+5=0\).

Sử dụng công thức \(\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\), ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & m\sin x+(m-1)(1-2{{\sin }^{2}}x)+5 & =0  \\   \Leftrightarrow  & m\sin x+m-1-2m{{\sin }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x+5 & =0  \\   \Leftrightarrow  & -2(m-1){{\sin }^{2}}x+m\sin x+m+4 & =0  \\\end{array}\)

Đặt \(t=\sin x\), với \(t\in [-1;1]\). Phương trình trở thành:

\(2(m-1){{t}^{2}}-mt-m-4=0\) (1).

v Trường hợp 1: m = 1.

Nếu \(m=1\), phương trình (1) trở thành:

\(-t-5=0\Rightarrow t=-5\).

Vì \(t=-5\notin [-1;1]\), phương trình vô nghiệm khi \(m=1\).

v Trường hợp 2: m ≠ 1.

Nếu \(m\ne 1\), phương trình (1) là phương trình bậc hai.

Để phương trình ban đầu vô nghiệm, phương trình (1) phải không có nghiệm trên đoạn \([-1;1]\).

Xét \(f(t)=2(m-1){{t}^{2}}-mt-m-4=0\).

Để phương trình vô nghiệm trên \([-1,1]\), ta xét các trường hợp sau:

1. Phương trình vô nghiệm: \(\Delta <0\).

\(\Delta ={{m}^{2}}+8(m-1)(m+4)={{m}^{2}}+8({{m}^{2}}+3m-4)=9{{m}^{2}}+24m-32\).

\(\begin{align}  & 9{{m}^{2}}+24m-32<0 \\  & \Leftrightarrow \frac{-12-4\sqrt{17}}{9}<m<\frac{-12+4\sqrt{17}}{9} \\  & \Leftrightarrow -3.8<m<1.1 \\ \end{align}\)

Các giá trị nguyên của \(m\) là \(\left\{ -3,-2,-1,0,1 \right\}\).

2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm ngoài khoảng \([-1,1]\) khá phức tạp, chúng ta có thể thử các giá trị nguyên của \(m\) trong một khoảng lớn hơn để kiểm tra.

Thử với \(m=-4,-5,2,3\):

\(m=-4\): \(-10{{t}^{2}}+4t=0\), nghiệm là \(t=0,t=2/5\).

Cả hai nghiệm đều nằm trong \([-1,1]\), loại.

\(m=-5\): \(-12{{t}^{2}}+5t+1=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.

\(m=2\): \(2{{t}^{2}}-2t-6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t-3=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.

\(m=3\): \(4{{t}^{2}}-3t-7=0\), có nghiệm trong \([-1,1]\), loại.

Tuy nhiên, có một cách tiếp cận khác là xét các trường hợp khi nghiệm của phương trình bậc hai (nếu có) đều nằm ngoài khoảng \([-1,1]\).

Điều này xảy ra khi:

\(f(-1)\) và \(f(1)\) cùng dấu và \(\Delta \ge 0\).

\(f(-1)=2(m-1)+m-m-4=2m-2-4=2m-6\).

\(f(1)=2(m-1)-m-m-4=2m-2-2m-4=-6\).

Để \(f(-1)\) và \(f(1)\) cùng dấu, \(2m-6\) phải âm, tức là:

\(2m-6<0\Leftrightarrow m<3\).

Kết hợp với điều kiện \(\Delta \ge 0\), ta có \(9{{m}^{2}}+24m-32\ge 0\).

Điều này xảy ra khi \(m\le \frac{-12-4\sqrt{17}}{9}\) hoặc \(m\ge \frac{-12+4\sqrt{17}}{9}\).

Vậy \(m\le -3.8\) hoặc \(m\ge 1.1\).

Kết hợp với \(m<3\), ta có các giá trị nguyên của \(m\) là:

\(m=\left\{ 1,2,-4,-5,-6,... \right\}\)

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình vô nghiệm. Các giá trị \(m=-3,-2,-1,0\) không thỏa mãn. Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1, 2 và các giá trị nhỏ hơn \(-3\).

Kiểm tra lại với \(m=2\):

\(\begin{align}  & 2\sin x+\cos 2x+5=0 \\  & \Leftrightarrow 2\sin x+1-2{{\sin }^{2}}x+5=0 \\  & \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x+2\sin x+6=0 \\  & \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-\sin x-3=0. \\ \end{align}\)

Phương trình này có nghiệm \(\sin x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\).

Một nghiệm lớn hơn 1, một nghiệm nhỏ hơn -1, nên phương trình vô nghiệm.

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) sao cho phương trình vô nghiệm.

Các giá trị \(m=-3,-2,-1,0\) không thỏa mãn.

Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là 1, 2 và các giá trị nhỏ hơn \(-3\).

Các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là

\(m=\left\{ 1,2,-4,-5,-6 \right\}\).

Tổng cộng có 6 giá trị.

Vậy số các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình vô nghiệm là 6.