JavaScript is required

Câu hỏi:

Biết I=∫1212(1x−1x+2)dx=aln⁡2+bln⁡3I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{2}}\Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x = a\ln 2+b\ln 3 với a, b∈R.a,\,b \in \mathbb{R}. Giá trị của biểu thức T=a2+b3T=a^2+b^3 bằng

A. 83.\dfrac{8}{3}.
B. 18.\dfrac{1}{8}.
C. 38.\dfrac{3}{8}.
D. 12.\dfrac{1}{2}.
Trả lời:

Đáp án đúng: C


Ta có: $I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{2}}\Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int\limits_{1}^{2} \Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x $
$\quad = \dfrac{1}{2} \Big[ \ln |x| - \ln |x+2| \Big]_{1}^{2} = \dfrac{1}{2} \Big[ \ln \Big|\dfrac{x}{x+2}\Big| \Big]_{1}^{2}$
$\quad = \dfrac{1}{2} \Big( \ln \dfrac{2}{4} - \ln \dfrac{1}{3} \Big) = \dfrac{1}{2} \Big( \ln \dfrac{1}{2} - \ln \dfrac{1}{3} \Big) $
$\quad = \dfrac{1}{2} (\ln 1 - \ln 2 - \ln 1 + \ln 3) = \dfrac{1}{2} (-\ln 2 + \ln 3) = -\dfrac{1}{2} \ln 2 + \dfrac{1}{2} \ln 3$
$\Rightarrow a = -\dfrac{1}{2}, b = \dfrac{1}{2}$
Vậy $T = a^2 + b^3 = \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2 + \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 5: Tích phân của hàm số lũy thừa; phân thức hữu tỉ

10/09/2025
0 lượt thi
0 / 10
Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 10:

Cho tích phân ∫15∣x−2x+1∣dx=a+bln⁡2+cln⁡3\displaystyle \int\limits_1^5 \left| \dfrac{x-2}{x+1} \right|\mathrm{d}x = a + b\ln 2 + c\ln 3 với a, b, ca,\,b,\,c là các số nguyên. Giá trị của P=abcP = abc bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có: $\dfrac{x-2}{x+1} = 1 - \dfrac{3}{x+1}$.
Xét dấu: $x \in [1;2)$ thì $\dfrac{x-2}{x+1} < 0$; $x \in (2;5]$ thì $\dfrac{x-2}{x+1} > 0$.
Do đó:
$\displaystyle \int\limits_1^5 \left| \dfrac{x-2}{x+1} \right|\mathrm{d}x = -\int\limits_1^2 \dfrac{x-2}{x+1} dx + \int\limits_2^5 \dfrac{x-2}{x+1} dx$
$\displaystyle = -\int\limits_1^2 (1 - \dfrac{3}{x+1}) dx + \int\limits_2^5 (1 - \dfrac{3}{x+1}) dx$
$\displaystyle = -\left[ x - 3\ln|x+1| \right]_1^2 + \left[ x - 3\ln|x+1| \right]_2^5$
$\displaystyle = -\left[ (2 - 3\ln 3) - (1 - 3\ln 2) \right] + \left[ (5 - 3\ln 6) - (2 - 3\ln 3) \right]$
$\displaystyle = -1 + 3\ln 3 + 3\ln 2 + 3 - 3\ln 6$
$\displaystyle = 2 + 3\ln (\dfrac{6}{6}) = 2 + 3\ln 1 = 2$
Suy ra $a = 2, b = 0, c = 0$. Vậy $P = abc = 0$.
Câu 1:

Nếu ∫12f(x)dx=3\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{f(x)\mathrm{d}x}=3 thì ∫12[f(x)+4x3]dx\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có:
$\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{2} 4x^3 \mathrm{d}x$

$= 3 + x^4 \Big|_1^2 = 3 + (2^4 - 1^4) = 3 + (16 - 1) = 3 + 15 = 18$.
Câu 2:

Tích phân ∫−31(2x−5)dx\displaystyle\int\limits_{-3}^{1}(2x-5)\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có:
$\displaystyle\int\limits_{-3}^{1}(2x-5)\mathrm{d}x = (x^2 - 5x) \Big|_{-3}^{1} = (1^2 - 5(1)) - ((-3)^2 - 5(-3)) = (1-5) - (9+15) = -4 - 24 = -28$.
Câu 3:

Tích phân ∫02x2−2x+1dx\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$.

Do đó, $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x-1| \mathrm{d}x$.

Ta xét:

  • Với $0 \le x < 1$, $|x-1| = 1-x$.

  • Với $1 \le x \le 2$, $|x-1| = x-1$.

Vậy:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x-1| \mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{1} (1-x) \mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x-1) \mathrm{d}x$

$= (x - \dfrac{x^2}{2})\Big|_{0}^{1} + (\dfrac{x^2}{2} - x)\Big|_{1}^{2}$

$= (1 - \dfrac{1}{2}) - (0) + ((\dfrac{4}{2} - 2) - (\dfrac{1}{2} - 1))$

$= \dfrac{1}{2} + (0 - (-\dfrac{1}{2})) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + 1 = 2$.
Câu 4:

Tích phân ∫12(x+3)2dx\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có: $\displaystyle\int (x+3)^2 dx = \int (x^2 + 6x + 9) dx = \dfrac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x + C$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_1^2 = \left(\dfrac{8}{3} + 12 + 18\right) - \left(\dfrac{1}{3} + 3 + 9\right) = \dfrac{7}{3} + 9 + 9 = \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{7+54}{3} = \dfrac{61}{3}$.
Câu 5:

Tích phân ∫021x+3dx\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{1}{x+3}\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 6:

Cho ∫0m(3x2−2x+1)dx=6\displaystyle\int\limits_{0}^{m}(3x^2-2x+1)\mathrm{d}x=6. Giá trị của tham số mm thuộc khoảng nào sau đây?

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 7:

Tích phân ∫aa+1x2dx\displaystyle\int\limits_{a}^{a+1}{{{x}^{2}}\mathrm{d}x} với a∈Ra\in \mathbb{R} có giá trị bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 8:

Tích phân I=∫121x+1−xdxI=\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Giáo Án Word & PPT Tiếng Anh 12 ILSW

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026

177 tài liệu315 lượt tải
Giáo Án Word & PPT Tiếng Anh 12 Global Success

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026

107 tài liệu758 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 KNTT

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu1058 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 CTST

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu558 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 KNTT

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu782 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Địa Lí 12 CTST

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Địa Lí 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu0 lượt tải