Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng $\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx$

hội tụ

phân kỳ

bán hội tụ

hội tụ tuyệt đối

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

$\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx$ . Ta có

$\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx$ . Tính tích phân

$\int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \int\limits_2^b {{{(x + 1)}^{ - \frac{1}{6}}}} dx = \frac{6}{5}{(x + 1)^{\frac{5}{6}}}|\mathop {}\limits_2^b = \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]}$ Do đó

$\mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]} = + \infty$ . Vậy tích phân suy rộng đã cho phân kỳ.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 7:

Tính $\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính tích phân suy rộng

$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}$ , ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Đặt ẩn phụ:** Đặt

$t = \sqrt{1 + x}$ , suy ra

$x = t^2 - 1$ và

$dx = 2t dt$ . Khi

$x = 0$ thì

$t = 1$ , và khi

$x \to +\infty$ thì

$t \to +\infty$ . Tích phân trở thành:

$\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{t \cdot 2t dt}}{{2 + 7(t^2 - 1)}}} = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{2t^2 dt}}{{7t^2 - 5}}}$ 2. **Phân tích hàm số dưới dấu tích phân:** Ta thấy rằng khi

$t \to +\infty$ ,

$\frac{{2t^2}}{{7t^2 - 5}} \to \frac{2}{7}$ . Vì giới hạn này khác 0, tích phân suy rộng này phân kỳ (diverges). 3. **Kết luận:** Do tích phân phân kỳ và tiến đến vô cùng, đáp án đúng là

$+ \infty$ .

Câu 8:

Tích phân suy rộng $\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} (b > a,\,\alpha > 0)$ phân kỳ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét tích phân suy rộng

$\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}}$ với

$b > a,\,\alpha > 0$ . Ta cần xác định khi nào tích phân này phân kỳ. Đặt

$t = b - x$ , suy ra

$dt = -dx$ . Khi

$x = a$ thì

$t = b - a$ , khi

$x = b$ thì

$t = 0$ . Vậy tích phân trở thành:

$\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} = - \int\limits_{b - a}^0 {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}} = \int\limits_0^{b - a} {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}}$ Tích phân

$\int\limits_0^{b - a} {\frac{{dt}}{{{t^\alpha }}}}$ hội tụ khi và chỉ khi

$\alpha < 1$ và phân kỳ khi

$\alpha \ge 1$ . Vậy, tích phân suy rộng

$\int\limits_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}}$ phân kỳ khi

$\alpha \ge 1$ .

Câu 9:

Cho chuỗi số $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}$ và tổng riêng $\sum\limits_{i = 1}^n {{u_n}}$ . Chọn phát biểu đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 10:

Cho chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}$ . Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để xét sự hội tụ của chuỗi số

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}$ , ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số).\n\nĐặt

$a_n = \frac{{5n!}}{{{n^n}}}$ .\n\nTa có:

$\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \frac{{5(n+1)!}}{{{(n+1)^{n+1}}}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{5n!}} = \frac{{(n+1)!}}{{n!}} \cdot \frac{{{n^n}}}{{{(n+1)^{n+1}}}} = (n+1) \cdot \frac{{{n^n}}}{{{(n+1)^n}(n+1)}} = {\left( {\frac{n}{{n+1}}} \right)^n} = {\left( {\frac{{n+1}}{n}} \right)^{ - n}} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{ - n}}$ .\n\nKhi

$n \to \infty$ , ta có

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_{n+1}}}{{a_n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{ - n}} = \frac{1}{e}$ .\n\nVì

$\frac{1}{e} < 1$ , theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{5n!}}{{{n^n}}}}$ hội tụ.\n

Câu 11:

Tính giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}}$ , ta có thể phân tích biểu thức như sau:

$\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x - 2}} = \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 1)}}$ Khi

$x \ne 2$ , ta có thể rút gọn biểu thức:

$\frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ Bây giờ, ta tính giới hạn khi

$x \to 2$ :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = \frac{{2 + 2}}{{2 + 1}} = \frac{4}{3}$ Vậy, giới hạn của biểu thức là

$\frac{4}{3}$ .

Câu 12:

Tìm a để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\cot (2x),\,\,x \ne 0,\left| x \right| < \frac{\pi }{2}\\ a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.$ liên tục trên $( - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})R$

Lời giải: