Đáp án đúng: C
Để tính đạo hàm bên trái của hàm số tại x = 0, ta cần tìm giới hạn của biểu thức sau khi x tiến về 0 từ phía bên trái:
\({f'_ - }(0) = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}} - 0}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{x}\)
Đặt \(t = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to {0^ - }\) thì \(t \to - \infty \). Vậy ta có:
\(\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{\frac{1}{x}}}}}{x} = \mathop {lim}\limits_{t \to - \infty } t{e^t} = \mathop {lim}\limits_{t \to - \infty } \frac{t}{{{e^{ - t}}}} = 0\) (do \(\mathop {lim}\limits_{t \to - \infty } {e^{ - t}} = + \infty \) và bậc của \({e^{ - t}}\) lớn hơn bậc của \(t\)\)).
Vậy \({f'_ - }(0) = 0\).