Một giám đốc điều hành quảng cáo đang nghiên cứu thói quen xem truyền hình của những người đàn ông và phụ nữ đã kết hôn, trong giờ vàng. Dựa trên hồ sơ xem trước đây, giám đốc điều hành đã xác định rằng trong những giờ vàng đó, các ông chồng đang xem tivi chiếm 60%. Khi người chồng đang xem tivi, 40% thời gian người vợ cũng đang xem ti vi. Khi người chồng không xem ti vi, 30% thời gian người vợ xem ti vi.

Biết người vợ đang xem ti vi trong giờ vàng, tìm xác suất để người chồng cũng đang xem tivi.

Câu hỏi yêu cầu tính toán trung bình và độ lệch chuẩn của tổng thời gian phục vụ khách hàng tại ngân hàng, bao gồm hai giai đoạn độc lập: thời gian chờ xếp hàng và thời gian giao dịch viên phục vụ. Để giải quyết bài toán này, chúng ta áp dụng các quy tắc cộng kỳ vọng và phương sai (hoặc bình phương độ lệch chuẩn) cho các biến ngẫu nhiên độc lập.

1. Tính trung bình của tổng thời gian:
Kỳ vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các kỳ vọng của chúng.
Gọi $T_{chờ}$ là thời gian chờ xếp hàng và $T_{gdv}$ là thời gian giao dịch viên phục vụ.
Thời gian tổng cộng $T_{tổng} = T_{chờ} + T_{gdv}$.
Trung bình thời gian chờ xếp hàng $\mu_{chờ} = 4$ phút.
Trung bình thời gian giao dịch viên phục vụ $\mu_{gdv} = 5,5$ phút.
Trung bình tổng thời gian $\mu_{tổng} = \mu_{chờ} + \mu_{gdv} = 4 + 5,5 = 9,5$ phút.

2. Tính độ lệch chuẩn của tổng thời gian:
Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai của chúng.
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Độ lệch chuẩn thời gian chờ xếp hàng $\sigma_{chờ} = 1,2$ phút, vậy phương sai thời gian chờ xếp hàng $\sigma^2_{chờ} = (1,2)^2 = 1,44$ phút$^2$.
Độ lệch chuẩn thời gian giao dịch viên phục vụ $\sigma_{gdv} = 1,5$ phút, vậy phương sai thời gian giao dịch viên phục vụ $\sigma^2_{gdv} = (1,5)^2 = 2,25$ phút$^2$.
Phương sai tổng thời gian $\sigma^2_{tổng} = \sigma^2_{chờ} + \sigma^2_{gdv} = 1,44 + 2,25 = 3,69$ phút$^2$.
Độ lệch chuẩn tổng thời gian $\sigma_{tổng} = \sqrt{\sigma^2_{tổng}} = \sqrt{3,69} \approx 1,92$ phút.

Do đó, trung bình của tổng thời gian cần thiết khách hàng được phục vụ tại ngân hàng là 9,5 phút và độ lệch chuẩn là khoảng 1,92 phút.

Để xác định sinh viên nên chọn cuộc thi nào để có khả năng được điểm A cao hơn, chúng ta cần tính toán xác suất đạt điểm A trong mỗi cuộc thi. Cả hai cuộc thi đều cho thấy điểm số tuân theo quy luật phân phối chuẩn.

Cuộc thi 1:
- Điểm trung bình (μ1) = 73
- Độ lệch chuẩn (σ1) = 8
- Điều kiện để đạt điểm A: ít nhất 81 điểm.

Chúng ta cần tính P(X1 ≥ 81), trong đó X1 là biến ngẫu nhiên chỉ điểm số trong cuộc thi 1.
Để làm điều này, chúng ta chuẩn hóa biến ngẫu nhiên bằng cách sử dụng công thức z-score: Z = (X - μ) / σ.

Z1 = (81 - 73) / 8 = 8 / 8 = 1.

Vậy, P(X1 ≥ 81) = P(Z1 ≥ 1).
Sử dụng bảng phân phối chuẩn tắc hoặc máy tính, ta tìm được P(Z ≥ 1) ≈ 0.1587.

Cuộc thi 2:
- Điểm trung bình (μ2) = 62
- Độ lệch chuẩn (σ2) = 3
- Điều kiện để đạt điểm A: đạt điểm tối thiểu là 68.

Chúng ta cần tính P(X2 ≥ 68), trong đó X2 là biến ngẫu nhiên chỉ điểm số trong cuộc thi 2.
Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên:

Z2 = (68 - 62) / 3 = 6 / 3 = 2.

Vậy, P(X2 ≥ 68) = P(Z2 ≥ 2).
Sử dụng bảng phân phối chuẩn tắc hoặc máy tính, ta tìm được P(Z ≥ 2) ≈ 0.0228.

So sánh:
- Xác suất đạt điểm A trong Cuộc thi 1 là khoảng 0.1587 (hay 15.87%).
- Xác suất đạt điểm A trong Cuộc thi 2 là khoảng 0.0228 (hay 2.28%).

Vì 0.1587 > 0.0228, sinh viên nên chọn Cuộc thi 1 để có khả năng được điểm A cao hơn.

Câu hỏi này bao gồm 5 phần (a, b, c, d, e) yêu cầu áp dụng các kiến thức về thống kê suy luận, bao gồm ước lượng khoảng, kiểm định giả thuyết và xác định cỡ mẫu.

Phân tích từng phần:

* Phần a: Ước lượng số ca mắc Covid trung bình với độ tin cậy 98%
* Dữ liệu cho là tần số theo các khoảng.
* Cần tính giá trị trung bình của mẫu (x̄) và độ lệch chuẩn của mẫu (s).
* Vì cỡ mẫu lớn (tổng số ngày là 12+6+6+5+3 = 32 > 30), ta có thể sử dụng phân phối chuẩn.
* Công thức ước lượng khoảng cho trung bình với độ tin cậy 1-α là: x̄ ± t(n-1, α/2) * (s/√n) hoặc x̄ ± z(α/2) * (s/√n).
* Với độ tin cậy 98%, α = 0.02, α/2 = 0.01. Giá trị t hoặc z tương ứng cần được tra bảng.
* Để tính x̄ và s từ dữ liệu nhóm, ta lấy trung điểm của mỗi khoảng. Trung điểm khoảng 0-50 là 25, 50-100 là 75, 100-150 là 125, 150-200 là 175, 200-500 là 350 (hoặc có thể chọn trung điểm 350 là hợp lý cho khoảng cuối). Sau đó, nhân với tần số tương ứng để tính tổng, từ đó suy ra x̄ và s.

* Phần b: Ước lượng tỷ lệ tối đa của những ngày cao điểm với độ tin cậy 95%
* Ngày cao điểm là ngày có số ca mắc mới từ 100 ca trở lên. Các khoảng tương ứng là 100-150, 150-200, 200-500.
* Số ngày cao điểm = 6 (100-150) + 5 (150-200) + 3 (200-500) = 14 ngày.
* Tổng số ngày là 32.
* Tỷ lệ ngày cao điểm trong mẫu là p̂ = 14/32.
* Cần ước lượng tỷ lệ tối đa, tức là ước lượng khoảng cho tỷ lệ với sai số biên là dương. Công thức là p̂ ± z(α/2) * √(p̂(1-p̂)/n).
* Với độ tin cậy 95%, α = 0.05, α/2 = 0.025. Giá trị z(0.025) = 1.96.
* Sai số biên cần tính là z(α/2) * √(p̂(1-p̂)/n).

* Phần c: Xác định cỡ mẫu tối thiểu để ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm với sai số 7% và độ tin cậy 98%
* Đã biết tỷ lệ ngày cao điểm từ phần b là p̂ = 14/32 ≈ 0.4375.
* Sai số mong muốn (E) = 0.07.
* Độ tin cậy 98% => α = 0.02, α/2 = 0.01. Giá trị z(0.01) cần tra bảng.
* Công thức tính cỡ mẫu tối thiểu cho tỷ lệ là: n = (z(α/2)² * p̂(1-p̂)) / E².
* Nếu không có ước lượng ban đầu cho p̂, ta có thể dùng p̂ = 0.5 để có cỡ mẫu lớn nhất.

* Phần d: Kiểm định giả thuyết về độ phân tán của số ca mắc mới
* So sánh độ phân tán hiện tại với độ phân tán trước đây (σ₀² = 50²). Tuy nhiên, câu hỏi cho "độ phân tán của số ca mới mắc Covid là 50 ca" - điều này có thể hiểu là độ lệch chuẩn trước đây là 50, hay phương sai trước đây là 50? Giả sử đó là phương sai (σ₀² = 50).
* Dữ liệu hiện tại cho thấy số ca mắc trung bình theo ngày. Cần tính phương sai của mẫu hiện tại (s²).
* Kiểm định giả thuyết về phương sai sử dụng kiểm định Chi-bình phương (χ²).
* Giả thuyết không H₀: σ² = 50 (hoặc σ = √50).
* Giả thuyết đối H₁: σ² > 50 (độ ổn định suy giảm có thể hiểu là phương sai tăng lên).
* Mức ý nghĩa α = 0.05.
* Số bậc tự do (df) = n-1 = 32-1 = 31.
* Giá trị thống kê kiểm định: χ² = ((n-1) * s²) / σ₀².
* So sánh giá trị tính được với giá trị tới hạn từ bảng phân phối χ² với df=31 và α=0.05 (kiểm định một phía).

* Phần e: So sánh mức độ khống chế dịch Covid
* So sánh trung bình số ca mắc mới ở Bắc Giang (200 ca/ngày) với trung bình số ca mắc mới trên cả nước (tính từ dữ liệu bảng).
* Mức ý nghĩa α = 0.05.
* Đây là bài toán so sánh hai trung bình, nhưng ta chỉ có một mẫu cho cả nước và một giá trị trung bình cho Bắc Giang. Có thể hiểu câu hỏi là: Liệu trung bình số ca mắc mới trên cả nước có nhỏ hơn 200 hay không?
* Hoặc, so sánh trung bình mẫu của cả nước với giá trị cho trước (200). Đây là bài toán kiểm định giả thuyết cho một trung bình.
* Giả thuyết không H₀: μ_cả nước = 200 (hoặc μ_cả nước ≥ 200 nếu muốn nói khống chế tốt hơn).
* Giả thuyết đối H₁: μ_cả nước < 200 (để kết luận khống chế tốt hơn ở cả nước).
* Sử dụng giá trị trung bình mẫu của cả nước (tính ở phần a) và độ lệch chuẩn mẫu của cả nước (tính ở phần a).
* Nếu cỡ mẫu lớn, sử dụng kiểm định Z: Z = (x̄_cả nước - 200) / (s_cả nước / √n).
* So sánh Z tính được với giá trị tới hạn từ phân phối chuẩn với α = 0.05 (kiểm định một phía).

Lưu ý: Để đưa ra đáp án cụ thể, cần thực hiện các phép tính chi tiết cho từng phần. Do đề bài yêu cầu phân tích và giải thích, và không có các lựa chọn đáp án A, B, C, D để chọn, nên "answer_iscorrect" sẽ được để là null và giải thích rõ lý do.

Đánh giá chung: Câu hỏi này kiểm tra khả năng áp dụng các công cụ thống kê suy luận vào phân tích dữ liệu thực tế. Việc giải quyết cần sự cẩn thận trong việc lựa chọn công thức, tra bảng và diễn giải kết quả.