Giả sử điểm kiểm tra cuối kỳ trong một khóa học thống kê nhập môn tuân theo quy luật phân phối chuẩn, với điểm trung bình là 73 và độ lệch chuẩn là 8. Trong cuộc thi này, nếu thầy cô chấm điểm theo nguyên tắc: cho điểm A nếu bạn được ít nhất 81 điểm trong bài kiểm tra.

Trong cuộc thi khác, điểm kiểm tra cuối kỳ môn học trên cũng được giả sử tuân theo quy luật phân phối chuẩn, với kỳ vọng là 62 điểm và độ lệch chuẩn là 3 điểm. Điều kiện được điểm A nếu đạt điểm tối thiểu là 68.

Sinh viên nên chọn cuộc thi nào để khả năng được điểm A là cao hơn?

Câu hỏi này bao gồm 5 phần (a, b, c, d, e) yêu cầu áp dụng các kiến thức về thống kê suy luận, bao gồm ước lượng khoảng, kiểm định giả thuyết và xác định cỡ mẫu.

Phân tích từng phần:

* Phần a: Ước lượng số ca mắc Covid trung bình với độ tin cậy 98%
* Dữ liệu cho là tần số theo các khoảng.
* Cần tính giá trị trung bình của mẫu (x̄) và độ lệch chuẩn của mẫu (s).
* Vì cỡ mẫu lớn (tổng số ngày là 12+6+6+5+3 = 32 > 30), ta có thể sử dụng phân phối chuẩn.
* Công thức ước lượng khoảng cho trung bình với độ tin cậy 1-α là: x̄ ± t(n-1, α/2) * (s/√n) hoặc x̄ ± z(α/2) * (s/√n).
* Với độ tin cậy 98%, α = 0.02, α/2 = 0.01. Giá trị t hoặc z tương ứng cần được tra bảng.
* Để tính x̄ và s từ dữ liệu nhóm, ta lấy trung điểm của mỗi khoảng. Trung điểm khoảng 0-50 là 25, 50-100 là 75, 100-150 là 125, 150-200 là 175, 200-500 là 350 (hoặc có thể chọn trung điểm 350 là hợp lý cho khoảng cuối). Sau đó, nhân với tần số tương ứng để tính tổng, từ đó suy ra x̄ và s.

* Phần b: Ước lượng tỷ lệ tối đa của những ngày cao điểm với độ tin cậy 95%
* Ngày cao điểm là ngày có số ca mắc mới từ 100 ca trở lên. Các khoảng tương ứng là 100-150, 150-200, 200-500.
* Số ngày cao điểm = 6 (100-150) + 5 (150-200) + 3 (200-500) = 14 ngày.
* Tổng số ngày là 32.
* Tỷ lệ ngày cao điểm trong mẫu là p̂ = 14/32.
* Cần ước lượng tỷ lệ tối đa, tức là ước lượng khoảng cho tỷ lệ với sai số biên là dương. Công thức là p̂ ± z(α/2) * √(p̂(1-p̂)/n).
* Với độ tin cậy 95%, α = 0.05, α/2 = 0.025. Giá trị z(0.025) = 1.96.
* Sai số biên cần tính là z(α/2) * √(p̂(1-p̂)/n).

* Phần c: Xác định cỡ mẫu tối thiểu để ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm với sai số 7% và độ tin cậy 98%
* Đã biết tỷ lệ ngày cao điểm từ phần b là p̂ = 14/32 ≈ 0.4375.
* Sai số mong muốn (E) = 0.07.
* Độ tin cậy 98% => α = 0.02, α/2 = 0.01. Giá trị z(0.01) cần tra bảng.
* Công thức tính cỡ mẫu tối thiểu cho tỷ lệ là: n = (z(α/2)² * p̂(1-p̂)) / E².
* Nếu không có ước lượng ban đầu cho p̂, ta có thể dùng p̂ = 0.5 để có cỡ mẫu lớn nhất.

* Phần d: Kiểm định giả thuyết về độ phân tán của số ca mắc mới
* So sánh độ phân tán hiện tại với độ phân tán trước đây (σ₀² = 50²). Tuy nhiên, câu hỏi cho "độ phân tán của số ca mới mắc Covid là 50 ca" - điều này có thể hiểu là độ lệch chuẩn trước đây là 50, hay phương sai trước đây là 50? Giả sử đó là phương sai (σ₀² = 50).
* Dữ liệu hiện tại cho thấy số ca mắc trung bình theo ngày. Cần tính phương sai của mẫu hiện tại (s²).
* Kiểm định giả thuyết về phương sai sử dụng kiểm định Chi-bình phương (χ²).
* Giả thuyết không H₀: σ² = 50 (hoặc σ = √50).
* Giả thuyết đối H₁: σ² > 50 (độ ổn định suy giảm có thể hiểu là phương sai tăng lên).
* Mức ý nghĩa α = 0.05.
* Số bậc tự do (df) = n-1 = 32-1 = 31.
* Giá trị thống kê kiểm định: χ² = ((n-1) * s²) / σ₀².
* So sánh giá trị tính được với giá trị tới hạn từ bảng phân phối χ² với df=31 và α=0.05 (kiểm định một phía).

* Phần e: So sánh mức độ khống chế dịch Covid
* So sánh trung bình số ca mắc mới ở Bắc Giang (200 ca/ngày) với trung bình số ca mắc mới trên cả nước (tính từ dữ liệu bảng).
* Mức ý nghĩa α = 0.05.
* Đây là bài toán so sánh hai trung bình, nhưng ta chỉ có một mẫu cho cả nước và một giá trị trung bình cho Bắc Giang. Có thể hiểu câu hỏi là: Liệu trung bình số ca mắc mới trên cả nước có nhỏ hơn 200 hay không?
* Hoặc, so sánh trung bình mẫu của cả nước với giá trị cho trước (200). Đây là bài toán kiểm định giả thuyết cho một trung bình.
* Giả thuyết không H₀: μ_cả nước = 200 (hoặc μ_cả nước ≥ 200 nếu muốn nói khống chế tốt hơn).
* Giả thuyết đối H₁: μ_cả nước < 200 (để kết luận khống chế tốt hơn ở cả nước).
* Sử dụng giá trị trung bình mẫu của cả nước (tính ở phần a) và độ lệch chuẩn mẫu của cả nước (tính ở phần a).
* Nếu cỡ mẫu lớn, sử dụng kiểm định Z: Z = (x̄_cả nước - 200) / (s_cả nước / √n).
* So sánh Z tính được với giá trị tới hạn từ phân phối chuẩn với α = 0.05 (kiểm định một phía).

Lưu ý: Để đưa ra đáp án cụ thể, cần thực hiện các phép tính chi tiết cho từng phần. Do đề bài yêu cầu phân tích và giải thích, và không có các lựa chọn đáp án A, B, C, D để chọn, nên "answer_iscorrect" sẽ được để là null và giải thích rõ lý do.

Đánh giá chung: Câu hỏi này kiểm tra khả năng áp dụng các công cụ thống kê suy luận vào phân tích dữ liệu thực tế. Việc giải quyết cần sự cẩn thận trong việc lựa chọn công thức, tra bảng và diễn giải kết quả.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Bayes, một công cụ quan trọng trong lý thuyết xác suất để tính toán xác suất có điều kiện.

Đầu tiên, chúng ta cần định nghĩa các biến cố:
- Gọi H là biến cố "người chồng đang xem tivi".
- Gọi V là biến cố "người vợ đang xem tivi".

Từ đề bài, chúng ta có các thông tin xác suất sau:
- P(H) = 0.6 (Xác suất người chồng đang xem tivi).
- P(V|H) = 0.4 (Xác suất người vợ xem tivi khi người chồng đang xem tivi).
- P(V|¬H) = 0.3 (Xác suất người vợ xem tivi khi người chồng không xem tivi). Ở đây, ¬H là biến cố đối của H, tức là người chồng không xem tivi.

Chúng ta cũng có thể suy ra:
- P(¬H) = 1 - P(H) = 1 - 0.6 = 0.4 (Xác suất người chồng không xem tivi).

Câu hỏi yêu cầu tìm xác suất người chồng cũng đang xem tivi biết rằng người vợ đang xem tivi. Đây là xác suất có điều kiện P(H|V).

Theo Định lý Bayes, chúng ta có công thức:
P(H|V) = [P(V|H) * P(H)] / P(V)

Để sử dụng công thức này, chúng ta cần tính P(V), xác suất người vợ xem tivi. Chúng ta có thể tính P(V) bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn phần:
P(V) = P(V|H) * P(H) + P(V|¬H) * P(¬H)

Thay số vào:
P(V) = (0.4 * 0.6) + (0.3 * 0.4) = 0.24 + 0.12 = 0.36

Bây giờ, chúng ta có thể thay các giá trị đã tính vào Định lý Bayes:
P(H|V) = (0.4 * 0.6) / 0.36 = 0.24 / 0.36

Để rút gọn phân số 0.24 / 0.36, ta nhân cả tử và mẫu với 100: 24 / 36. Sau đó, ta có thể chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất là 12:
24 / 12 = 2
36 / 12 = 3

Vậy, P(H|V) = 2/3.

Do đó, xác suất để người chồng cũng đang xem tivi khi người vợ đang xem tivi là 2/3.

Câu hỏi yêu cầu tính toán trung bình và độ lệch chuẩn của tổng thời gian phục vụ khách hàng tại ngân hàng, bao gồm hai giai đoạn độc lập: thời gian chờ xếp hàng và thời gian giao dịch viên phục vụ. Để giải quyết bài toán này, chúng ta áp dụng các quy tắc cộng kỳ vọng và phương sai (hoặc bình phương độ lệch chuẩn) cho các biến ngẫu nhiên độc lập.

1. Tính trung bình của tổng thời gian:
Kỳ vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các kỳ vọng của chúng.
Gọi $T_{chờ}$ là thời gian chờ xếp hàng và $T_{gdv}$ là thời gian giao dịch viên phục vụ.
Thời gian tổng cộng $T_{tổng} = T_{chờ} + T_{gdv}$.
Trung bình thời gian chờ xếp hàng $\mu_{chờ} = 4$ phút.
Trung bình thời gian giao dịch viên phục vụ $\mu_{gdv} = 5,5$ phút.
Trung bình tổng thời gian $\mu_{tổng} = \mu_{chờ} + \mu_{gdv} = 4 + 5,5 = 9,5$ phút.

2. Tính độ lệch chuẩn của tổng thời gian:
Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai của chúng.
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Độ lệch chuẩn thời gian chờ xếp hàng $\sigma_{chờ} = 1,2$ phút, vậy phương sai thời gian chờ xếp hàng $\sigma^2_{chờ} = (1,2)^2 = 1,44$ phút$^2$.
Độ lệch chuẩn thời gian giao dịch viên phục vụ $\sigma_{gdv} = 1,5$ phút, vậy phương sai thời gian giao dịch viên phục vụ $\sigma^2_{gdv} = (1,5)^2 = 2,25$ phút$^2$.
Phương sai tổng thời gian $\sigma^2_{tổng} = \sigma^2_{chờ} + \sigma^2_{gdv} = 1,44 + 2,25 = 3,69$ phút$^2$.
Độ lệch chuẩn tổng thời gian $\sigma_{tổng} = \sqrt{\sigma^2_{tổng}} = \sqrt{3,69} \approx 1,92$ phút.

Do đó, trung bình của tổng thời gian cần thiết khách hàng được phục vụ tại ngân hàng là 9,5 phút và độ lệch chuẩn là khoảng 1,92 phút.