Cho A={1,2,3,4,5}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi chữ số 1 được thành lập từ A.

Để giải bài toán này, ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Chọn chỗ cho các ông chồng. Vì bàn tròn nên ta cố định một người đàn ông, khi đó có (n-1)! cách xếp n-1 người đàn ông còn lại.

Bước 2: Xếp các bà vợ. Vì các ông và các bà ngồi xen kẽ nhau nên có n! cách xếp các bà vợ vào các vị trí còn lại.

Bước 3: Xếp mỗi bà vợ vào bên cạnh chồng mình. Mỗi cặp vợ chồng có 2 cách xếp (vợ trái chồng hoặc vợ phải chồng).

Vậy số cách xếp thỏa mãn là: (n-1)! * n! * 2ⁿ = 2ⁿ * n! * (n-1)!

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Xem xét lại đề bài: "các cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau".

Cách 1: Cố định một cặp vợ chồng. Có 2 cách xếp cặp vợ chồng này (ông-bà hoặc bà-ông). Sau đó xếp n-1 cặp vợ chồng còn lại vào 2n-2 vị trí còn lại. Số cách xếp n-1 cặp vợ chồng này là (n-1)!. Tuy nhiên, vì bàn tròn, ta cần chia cho số cặp vợ chồng, nhưng do đã cố định 1 cặp, nên không cần chia. Mỗi cặp vợ chồng có 2 cách xếp (ông-bà hoặc bà-ông), nên có 2^n-1 cách. Tổng số cách là 2*(n-1)!*2^n-1 = n!*2ⁿ/n. Cách này cũng không có đáp án đúng.

Cách 2: Xếp n ông chồng vào 2n vị trí sao cho không ai ngồi cạnh nhau. Số cách xếp là (n-1)!. Tiếp theo, xếp n bà vợ vào n vị trí còn lại, có n! cách. Mỗi cặp vợ chồng có 2 cách xếp, nên có 2ⁿ cách. Tổng cộng (n-1)!*n!*2ⁿ. Vẫn không có đáp án đúng.

Xem xét lại, nếu đề bài chỉ yêu cầu các cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau, không yêu cầu xen kẽ ông bà, thì có thể giải như sau:

- Coi mỗi cặp vợ chồng là 1 đơn vị. Có (n-1)! cách xếp n cặp vợ chồng vào bàn tròn.

- Mỗi cặp vợ chồng có 2 cách xếp (ông-bà hoặc bà-ông), nên có 2ⁿ cách.

Vậy tổng số cách là (n-1)! * 2ⁿ.

Tuy nhiên, nếu các ông ngồi xen kẽ các bà thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều.

Trong các đáp án đưa ra, đáp án gần đúng nhất là n.n!, nếu đề bài không yêu cầu xen kẽ.

Phân tích đáp án:

• Đáp án 1: N! - Không đủ.


• Đáp án 2: n.n! - Có thể đúng nếu có một số điều kiện khác.


• Đáp án 3: 2n! - Sai.


• Đáp án 4: 4n! - Sai.

Do đó, đáp án gần đúng nhất là n.n!.

Thuật toán Dijkstra là một thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến tất cả các đỉnh còn lại trong một đồ thị có trọng số không âm. Điều này có nghĩa là thuật toán có thể áp dụng cho cả đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng, miễn là các cạnh của đồ thị có trọng số không âm.

Tại sao các lựa chọn khác không đúng:

• Lựa chọn 2: Đồ thị liên thông có trọng số không âm, mặc dù đồ thị liên thông là một điều kiện phổ biến trong các bài toán đường đi ngắn nhất, thuật toán Dijkstra vẫn có thể hoạt động trên đồ thị không liên thông (nếu ta chỉ quan tâm đến các đỉnh có thể đến được từ đỉnh nguồn).


• Lựa chọn 3: Đồ thị có hướng có trọng số không âm, thiếu trường hợp đồ thị vô hướng.


• Lựa chọn 4: Đồ thị vô hướng hoặc có hướng không có chu trình âm. Điều kiện không có chu trình âm quan trọng đối với các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất tổng quát hơn (ví dụ: thuật toán Bellman-Ford), nhưng thuật toán Dijkstra chỉ yêu cầu trọng số không âm. Sự tồn tại của chu trình âm sẽ khiến cho việc tìm đường đi ngắn nhất trở nên vô nghĩa vì ta có thể đi qua chu trình đó vô số lần để giảm chi phí đường đi xuống vô cùng bé.