Chín đồ chơi có thể được chia bao nhiêu cách cho 4 bé nếu bé nhỏ nhất nhận 3 đồ chơi và mỗi bé còn lại nhận 2 đồ chơi?

Bài toán yêu cầu tính số cách chọn 8 câu hỏi từ 10 câu, trong đó phải chọn ít nhất 4 câu từ 5 câu đầu tiên.

Ta xét các trường hợp:

* Trường hợp 1: Chọn 4 câu từ 5 câu đầu và 4 câu từ 5 câu còn lại. Số cách chọn là C(5,4) * C(5,4) = 5 * 5 = 25

* Trường hợp 2: Chọn 5 câu từ 5 câu đầu và 3 câu từ 5 câu còn lại. Số cách chọn là C(5,5) * C(5,3) = 1 * 10 = 10

Vậy, tổng số cách chọn là 25 + 10 = 35.

Vậy đáp án đúng là B. 35

Để giải bài toán này, ta cần chia 12 học viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người, để làm 3 bài kiểm tra khác nhau.

Bước 1: Chọn 4 học viên từ 12 học viên để làm bài kiểm tra thứ nhất. Số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 12, ký hiệu là C(12, 4).
C(12, 4) = 12! / (4! * 8!) = (12 * 11 * 10 * 9) / (4 * 3 * 2 * 1) = 495

Bước 2: Sau khi chọn 4 học viên cho bài kiểm tra thứ nhất, còn lại 8 học viên. Chọn 4 học viên từ 8 học viên còn lại để làm bài kiểm tra thứ hai. Số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 8, ký hiệu là C(8, 4).
C(8, 4) = 8! / (4! * 4!) = (8 * 7 * 6 * 5) / (4 * 3 * 2 * 1) = 70

Bước 3: Sau khi chọn 4 học viên cho bài kiểm tra thứ nhất và thứ hai, còn lại 4 học viên. Chọn 4 học viên từ 4 học viên còn lại để làm bài kiểm tra thứ ba. Số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 4, ký hiệu là C(4, 4).
C(4, 4) = 4! / (4! * 0!) = 1

Bước 4: Nhân số cách chọn ở mỗi bước lại với nhau để có tổng số cách chia.
Tổng số cách = C(12, 4) * C(8, 4) * C(4, 4) = 495 * 70 * 1 = 34650

Vậy, có 34650 cách để chia 12 học viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người, để làm 3 bài kiểm tra khác nhau.

Đáp án đúng là: A. 34650

Định lý bắt tay (Handshaking Lemma) phát biểu rằng trong mọi đồ thị, tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh. Do đó, tổng bậc của tất cả các đỉnh là một số chẵn. Để tổng bậc là một số chẵn, số lượng đỉnh bậc lẻ phải là một số chẵn, vì mỗi đỉnh bậc lẻ đóng góp một số lẻ vào tổng, và một số lượng lẻ các số lẻ sẽ cho một tổng lẻ. Do đó, phương án C là đáp án đúng.

Đồ thị chu trình C_n là đồ thị có n đỉnh và n cạnh, tạo thành một chu trình duy nhất.

* Nếu n chẵn, ta có thể tô màu đồ thị C_n bằng 2 màu xen kẽ nhau. Ví dụ, với C₄, ta có thể tô đỉnh 1 màu 1, đỉnh 2 màu 2, đỉnh 3 màu 1, đỉnh 4 màu 2.
* Nếu n lẻ, ta cần 3 màu để tô đồ thị C_n. Ví dụ, với C₃, ta cần 3 màu khác nhau cho 3 đỉnh.

Vì câu hỏi cho n chẵn, số màu cần thiết là 2.