Bình hình trụ tròn bán kính R, chiều cao H, chứa chất lỏng đến 1/2 chiều cao H. Vận tốc góc để chất lỏng chưa trào ra khỏi bình khi bình quay quanh trục đối xứng.
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để giải bài toán này, ta cần xét đến bề mặt chất lỏng khi bình quay. Bề mặt chất lỏng sẽ có dạng paraboloid tròn xoay. Điều kiện để chất lỏng không bị tràn ra ngoài là độ cao của paraboloid tại thành bình không vượt quá chiều cao của bình.
Phương trình bề mặt chất lỏng có dạng: z = (ω^2 * r^2) / (2g) + C
Trong đó:
- z là độ cao của chất lỏng tại điểm có bán kính r
- ω là vận tốc góc
- g là gia tốc trọng trường
- C là hằng số
Vì chất lỏng ban đầu chiếm một nửa chiều cao bình (H/2), nên thể tích chất lỏng không đổi khi bình quay. Ta có thể tính hằng số C dựa trên điều kiện này, nhưng để đơn giản, ta có thể xét trực tiếp điều kiện biên.
Điểm thấp nhất của paraboloid (r=0) phải nằm trên đáy bình (z=0). Điểm cao nhất của paraboloid (r=R) phải thấp hơn hoặc bằng chiều cao của bình (H).
Xét trường hợp giới hạn, khi điểm thấp nhất của paraboloid chạm đáy bình (z=0 tại r=0), và điểm cao nhất của paraboloid đạt đến miệng bình (z=H tại r=R):
H = (ω^2 * R^2) / (2g)
Từ đó suy ra:
ω^2 = (2gH) / R^2
ω = √(2gH / R^2) = (1/R) * √(2gH)
Để chất lỏng không tràn, ω phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị này:
ω ≤ √(2gH) / R
Vậy đáp án đúng là: ω ≤ √(2gH/R)
