Câu hỏi:

Gọi $R$ là bán kính Trái Đất, $h$ là độ cao tối đa của vật thể có thể theo dõi.

Khi đó $R = 6400$ km và $h = 4600$ km.

Ta có:

• $OB = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 6400\sqrt{2} \approx 9051$ km.


• $OC = R + h = 6400 + 4600 = 11000$ km.

Khi đó, $BC = OC - OB = 11000 - 9051 = 1949$ km.

Nếu hai vệ tinh ở hai đầu mút của đường kính, thì khoảng cách xa nhất giữa chúng là: $2 * (R + h) = 2 * 11000 = 22000$ km. Khi đó, khoảng cách hai vệ tinh là : $\sqrt{22000^2 - 1949^2} = \sqrt{484000000 - 3798401} \approx 21914 $ km. Cách Trái Đất: $21914 - 2 * R = 21914 - 12800 = 9114$. Vậy 2 vệ tinh không ở vị trí C.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều, nên $AM \perp BC$. Vì lăng trụ là lăng trụ đứng nên $AA' \perp (ABC)$.

Do đó $AA' \perp AM$. Suy ra $AM$ là đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $BC$.

Độ dài đoạn vuông góc chung này là khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$.

Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} \approx 0.866a$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $0.87a$.

Gọi $r$ là bán kính đáy cốc, $h$ là chiều cao của cốc.
Thể tích của cốc là: $V = \pi r^2 h = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (8\sqrt{3}) = \pi \frac{25 \cdot 2}{4} 8\sqrt{3} = 100\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Thể tích nước trong cốc là: $V_n = \frac{1}{4}V = 25\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Thể tích phần còn trống của cốc là: $V_t = V - V_n = 100\pi \sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = 75\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Để con quạ uống được nước, mực nước phải dâng lên ít nhất đến độ cao $8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm.
Thể tích cần thiết để mực nước đạt đến độ cao đó là $V_{can} = \pi r^2 (6\sqrt{3}) - V_n = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (6\sqrt{3}) - 25\pi \sqrt{3} = \pi \frac{25 \cdot 2}{4} 6\sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = 75\pi \sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = \frac{75}{2}\pi \sqrt{3} - 25\pi\sqrt{3} = \frac{25}{2}\pi \sqrt{3} $ $\pi \sqrt{3}(37.5 - 25) = 12.5\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Thể tích một viên sỏi là: $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3}) = 4\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$)
Số viên sỏi cần thả vào là: $n = \frac{12.5\pi \sqrt{3}}{4\pi \sqrt{3}} = \frac{12.5}{4} = 3.125$. Vì số viên sỏi phải là số nguyên nên cần ít nhất 4 viên sỏi.
Nhưng mà mực nước cách miệng cốc không quá $2\sqrt{3}$. Do đó thể tích cần thiết là $V_{can} = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (6\sqrt{3}) - 25\pi \sqrt{3} = \frac{75}{2} \pi \sqrt{3} - 25 \pi \sqrt{3} = \frac{25}{2} \pi \sqrt{3} \approx 68.00 \text{cm}^3$
Số viên sỏi cần là $\frac{68}{4\pi \sqrt{3}} \approx \frac{68}{21.76} \approx 3.125$. Vậy cần 4 viên.
Chiều cao của mực nước sau khi bỏ $x$ viên sỏi là $h_x = \frac{V_n + xV_s}{\pi r^2} = \frac{25\pi \sqrt{3} + x4\pi \sqrt{3}}{\pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3}}{\frac{50}{4}} = \frac{4(25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3})}{50} = \frac{2(25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3})}{25} = 2\sqrt{3} + \frac{8x\sqrt{3}}{25}$
Để mực nước cách miệng cốc không quá $2\sqrt{3}$ thì $8\sqrt{3} - h_x \le 2\sqrt{3}$ hay $h_x \ge 6\sqrt{3}$
$2\sqrt{3} + \frac{8x\sqrt{3}}{25} \ge 6\sqrt{3}$ suy ra $\frac{8x\sqrt{3}}{25} \ge 4\sqrt{3}$ suy ra $8x \ge 100$ suy ra $x \ge 12.5$. Vậy cần ít nhất 13 viên.

Gọi $x$ là số sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ($0 < x \le 400$, $x$ nguyên).

Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là:

Chi phí vận hành: $65000x$

Chi phí nguyên vật liệu:

• Nếu $x \le 200$: $7000000(1 - 0.01x) = 7000000 - 70000x$
• Nếu $x > 200$: Chi phí cho 200 sản phẩm đầu: $7000000(1 - 0.01 \cdot 200) = 7000000(0.98) = 6860000$ (đồng)
  Chi phí cho $x-200$ sản phẩm sau: $7000000(x-200)(1-0.02) = 0.98 \cdot 7000000(x-200)$

Vậy, nếu $x > 200$, chi phí nguyên vật liệu là $6860000 + 7000000(x-200)(0.98) = 6860000 + 6860000(x-200) = 6860000(1 + x - 200) = 6860000(x - 199)$

Tổng chi phí $C(x)$:

• Nếu $x \le 200$: $C(x) = 65000x + 7000000 - 70000x = -5000x + 7000000$
• Nếu $x > 200$: $C(x) = 65000x + 6860000(x - 199) = 65000x + 6860000x - 6860000 \cdot 199 = 6925000x - 1365140000$

Doanh thu $R(x) = -x^2/40 + 21x$

Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$

• Nếu $x \le 200$: $P(x) = -x^2/40 + 21x + 5000x - 7000000 = -x^2/40 + 5021x - 7000000$
• Nếu $x > 200$: $P(x) = -x^2/40 + 21x - 6925000x + 1365140000 = -x^2/40 - 6924979x + 1365140000$

Xét $P'(x)$:

• Nếu $x \le 200$: $P'(x) = -x/20 + 5021$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 100420$. Loại vì $x \le 200$.
• Nếu $x > 200$: $P'(x) = -x/20 - 6924979$. $P'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -138499580$. Loại vì $x > 200$.

Vì $P'(x)$ không có nghiệm trong khoảng đang xét, ta xét các giá trị đầu mút $x=200$ và $x = 400$.
Với $x=200$ ta có $P(200) = -200^2/40 + 5021(200) - 7000000 = -1000 + 1004200 - 7000000 = -5996800$ (đồng)
Với $x=400$ ta có $P(400) = -400^2/40 - 6924979(400) + 1365140000 = -4000 - 2769991600 + 1365140000 = -1404855600$ (đồng)
Vậy hàm này không có giá trị lớn nhất. Xem lại đề bài.

Kiểm tra lại hàm doanh thu: $R(x) = -1/40 x^2 + 21x$.
Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $7000000$ đồng.
Chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là $65000$.
Giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu, giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo.

Gọi $x$ là số sản phẩm. $C(x) = 65000x + 7000000(1 - 0.01 \cdot 200 - 0.02(x-200)) = 65000x + 7000000(0.98 - 0.02x + 4) = 65000x + 7000000(1.02-0.02(x-200))$ nếu $x > 200$.
$C(x) = 65000x + 7000000 - 70000\cdot x= -5000x + 7000000$ nếu $x \le 200$.
$P(x) = R(x) - C(x)$
Nếu $x \le 200$: $P(x) = (-x^2)/40 + 21x - (-5000x + 7000000) = -x^2/40 + 5021x - 7000000$
$P'(x) = -x/20 + 5021 = 0$, $x = 100420$, loại.
$P(200) = -1000 + 5021\cdot 200 - 7000000 = -5996800 < 0$.
Nếu $x > 200$: Chi phí nguyên vật liệu là $7000000(0.98 - 0.02(x-200))$. $C(x) = 65000x + 7000000(0.98) = 6860000$

Doanh thu: $R(x) = -x^2/40 + 21x$
Lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = -x^2/40 + 21x - (65000x + 7000000(1-200\cdot 0.01 - (x-200) \cdot 0.02 ))$
Chi phí nguyên vật liệu: $NVL(x) = 7000000(1 - 0.01 \cdot MIN(x,200) - MAX(0, x-200) \cdot 0.02)$
$C(x) = 65000x + NVL(x)$

Nếu $x < 200$, doanh thu lớn nhất là $x = 200$. Ta có $x = 350$ cho lợi nhuận lớn nhất.