Câu hỏi:

\(\sqrt{-{{x}^{2}}+13x-2m-12}=\sqrt{-2{{x}^{2}}+10x-8}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -2{{x}^{2}}+10x-8\ge 0 \\  & {{x}^{2}}+3x-4=2m \\ \end{align} \right.\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;4 \right]\).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}+3x-4\) và đường thẳng \(y=2m\).

Xét hàm số \(y={{x}^{2}}+3x-4\), có đồ thị như hình vẽ.

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;4 \right]\), thì \(m\in \left[ 0;12 \right]\).

a) Đúng: Với \(m=1\) thì bình phương hai vế phương trình đã cho ta được \({{x}^{2}}+3x-6=0\).

b) Sai: Có tất cả \(13\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

c) Sai: Phương trình đã cho có nghiệm khi \(m\in \left[ a;b \right]\), khi đó \(a+b=12\).

d) Đúng: Giá trị nguyên lớn nhất của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm là \(12\).

Phương trình:

\(\begin{align}  & \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}=\sqrt{x-3} \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x-3\ge 0  \\    {{x}^{2}}-x+m=x-3  \\ \end{array} \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x\ge 3  \\    {{x}^{2}}-2x+m+3=0\,\,\left( * \right)  \\ \end{array} \right. \\ \end{align}\)

Phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt khi \(\left( \text{*} \right)\) có \(2\) nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\le 3\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \Delta =4-4\left( m+3 \right)>0  \\    {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge 3  \\    \left( {{x}_{1}}-3 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)\ge 0  \\ \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   m<-2  \\    2\ge 6  \\    \left( {{x}_{1}}-3 \right)\left( {{x}_{2}}-3 \right)\ge 0  \\ \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow m\in \varnothing \) .

Vậy không có giá trị nguyên nào của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đường tròn \((C):{{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=16\) có tâm \(I(-1;-2)\) và bán kính \(R=4\).

Hòn sỏi M nằm trên đường tròn nên \(IM=4\).

Gọi H là trung điểm của IM, suy ra \(IH=\frac{1}{2}IM=2\).

Tam giác \(\Delta AIM\) cân tại A nên \(AH\bot IM\).

Diện tích tam giác AIM:

\({{S}_{AIM}}=\frac{1}{2}.AH.IM\) với \({{S}_{AIM}}=4,IM=4.\)

Suy ra: \(AH.4=8\Rightarrow AH=2.\)

Tính khoảng cách từ I đến A:

\(I{{A}^{2}}=I{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\)\(\Rightarrow IA=2\sqrt{2}.\)

Vậy, khi bánh xe quay, điểm A sẽ di chuyển trên một đường tròn tâm I bán kính \(2\sqrt{2}\approx 2,8\).

Phương trình của parabol \(\left( P \right):y={{x}^{2}}+4x\) có dạng chuẩn \(y=a{{x}^{2}}+bx+c\), trong đó: \(a=1\), \(b=4\), \(c=0\).

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình: \(x=-\frac{b}{2a}.\)

Thay \(a=1\) và \(b=4\) vào công thức: \(x=-\frac{4}{2\left( 1 \right)}=-2\).

Vậy trục đối xứng của đồ thị \(\left( P \right)\) là đường thẳng: \(x=-2.\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({{d}_{1}}\), \({{d}_{2}}\) lần lượt là:

\(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -2;1 \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2 \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Rightarrow {{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}.\)