Tổng các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(y=-x+2\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x^{3}+m}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Câu 37:

Từ các chữ số \(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

Lời giải:

Đáp án đúng: 1440

Gọi số cần tìm có dạng: \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}}\) với \(a_{3}+a_{4}+a_{5}=8\)

Ta có: \(8=1+2+5=1+3+4(*)\).

Vậy có 2 cách chọn nhóm 3 số để các số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn có tổng bằng 8.

Bước 1: Chọn ra 3 trong 8 số thỏa mãn \(a_{3}+a_{4}+a_{5}=8\). Theo phân tích (*) có : 2 cách.

Bước 2: Với mỗi bộ ba số chọn ở bước 1 có: \(3!=6\) cách lập số \(\overline{a_{3} a_{4} a_{5}}\).

Bước 3: Chọn ra số \(\overline{a_{1} a_{2} a_{6}}\) theo thứ tự trên. Số cách chọn: \(A_{6}^{3}=120\).

Theo quy tắc nhân số cách chọn theo yêu cầu là: \(2 \cdot 6 \cdot 120\) =1440 số.

Câu 38:

Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi, ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: 0,5

Gọi biến cố \(A\) : "lấy viên bi thứ nhất là màu xanh"; \(B\) : "lấy viên bi thứ hai là màu đỏ".

Ta có: \(P(A)=\frac{3.4}{5.4}=\frac{3}{5} ; P(A \cap B)=\frac{3.2}{5.4}=\frac{3}{10}\).

Do đó: \(P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}\).

Câu 39:

Cực đại của hàm số \(y=\sqrt{8+2 x-x^{2}}\) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: 3

ТХĐ: \(D=[-2 ; 4]\).

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{1-x}{\sqrt{8+2 x-x^{2}}} ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y(1)=3\)

Qua \(x=1, y^{\prime}\) đổi dấu từ dương sang âm nên cực đại của hàm số là 3.

Câu 40:

Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Biết \(f(-1)=\frac{13}{4}, f(2)=6\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=f^{3}(x)-3 f(x)\) trên đoạn \([-1 ; 2]\) bằng bao nhiêu? Nhập kết quả dưới dạng m/n.

Lời giải:

Đáp án đúng: 1573/64

Từ đồ thị hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) và giả thiết \(f(-1)=\frac{13}{4}, f(2)=6\) ta có bảng biến thiên hàm số \(y=f(x)\) trên \([-1 ; 2]\):

Pasted image

Ta có \(g^{\prime}(x)=3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-3 f^{\prime}(x)\).

Xét trên đoạn \([-1 ; 2]: g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 f^{\prime}(x)\left[f^{2}(x)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow f^{\prime}(x)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=2\end{array}\right.\)

Bảng biến thiên:

Pasted image

\(\Rightarrow \min _{[-1 ; 2]} g(x)=g(-1)=f^{3}(-1)-3 f(-1)=\frac{1573}{64}\).

Câu 41:

Trong một buổi tọa đàm nhân ngày 8 tháng 3, có 20 đại biểu nữ và 10 đại biểu nam. Ban tổ chức mời 5 đại biểu phát biểu ý kiến. Xác suất để trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: 0,7

Gọi \(A\) "Trong 5 phát biểu mời có đúng một phát biểu là của đại biểu nam".

Gọi \(B\) "Trong 5 phát biểu mời có đúng hai phát biểu là của đại biểu nam".

Suy ra \(A \cup B\) là "Trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam".

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\).

Ta có \(P(A)=\frac{C_{10}^{1} \cdot C_{20}^{4}}{C_{30}^{5}}, P(B)=\frac{C_{10}^{2} \cdot C_{20}^{3}}{C_{30}^{5}}\).

\(\Rightarrow P(A \cup B)=P(A)+P(B) \approx 0,7\)

Câu 42:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f(\sin x)=m\) có nghiệm thuộc khoảng \((0 ; \pi)\) ?

Lời giải: