Câu hỏi:

• Đây là đồ thị của hàm số bậc 3: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$


• $a > 0$ (nhánh cuối cùng của đồ thị hướng lên trên) $\implies$ Loại đáp án D.


• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $\implies d > 0$ (cụ thể ở đây $d = 1$).


• Đồ thị có 2 điểm cực trị.

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$, quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{d}{c}>0 \\ \frac{a}{c}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cd<0 \\ ac>0 \end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(-\frac{b}{a};0\right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{a}>0 \\ \frac{b}{d}>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab<0 \\ bd>0 \end{matrix}\right.$.

Với $a>0 \Rightarrow b<0; c>0; d<0$.

Với $a<0 \Rightarrow b>0; c<0; d>0$.

Do đó $a>0, b<0, c>0, d<0$.

• $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}$


• $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DP}$

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

Trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-1;+\infty)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.

Trên các khoảng $(-3;-2)$ và $(-2;-1)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.

Vậy ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = -3$; đạt cực tiểu tại $x = -1$, do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = -2$, do đó ý c) sai.

– Vì $x = -2$ là tiệm cận đứng nên $n=2$. Khi đó, $y = f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$.

$y' = \frac{ax^2+4ax+2b-c}{(x+2)^2}$; $y'=0 \Leftrightarrow ax^2+4ax+2b-c=0 \quad (*)$.

Ta có $x = -1$ là một nghiệm của phương trình $(*)$, do đó $-3a+2b-c=0$.

Các điểm $(-1;1)$, $(-3;-3)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$.

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} -3a+2b-c=0 \\ a-b+c=1 \\ -9a+3b-c=-3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=3 \end{cases}$.

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là $y = \frac{x^2+3x+3}{x+2}$. Do đó, ý d) đúng.

Xét hàm số $y=f(x) = x^3-3x^2-9x + 5$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y' = 3x^2-6x-9$; $y'=0$ khi $x = -1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=-22$; đạt cực đại tại $x = -1$, $y_{CĐ}=10$. Do đó, ý b) sai.

– Với $x=0$ thì $y=5$; với $x=1$ thì $y=-6$; với $x = -1$ thì $y=10$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm $(0;5)$, $(1;-6)$, $(-1;10)$.

Do đó, ý c) sai.

– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y=-22$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.