Câu hỏi:

Sau \(2h\) quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: \({{S}_{1}}=30.2=60\) km.

Sau \(2h\) quãng đường tàu thứ hai chạy được là: \({{S}_{2}}=40.2=80\) km.

Vậy sau \(2h\) hai tàu cách nhau là:

\(S=\sqrt{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}-2{{S}_{1}}.{{S}_{2}}.\text{cos}{{60}^{\circ }}}=20\sqrt{13}\) km.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(ABC\) kể cả biên (phần tô màu) với \(A\left( 0;2 \right),\,B\left( \frac{90}{41};\frac{10}{41} \right),\,C\left( 0;\frac{-5}{2} \right)\).

Nhận thấy biểu thức \(F=x+y\) chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A\); \(B\) hoặc \(C\).

+ Tại \(A\left( 0;2 \right)\) thì \(F=2.\)

+ Tại \(B\left( \frac{90}{41};\frac{10}{41} \right)\) thì \(F=\frac{100}{41}.\)

+ Tại \(C\left( 0;\frac{-5}{2} \right)\) thì \(F=\frac{-5}{2}.\)

Vậy \(\text{min}F=\frac{-5}{2}\) khi \(x=0,\) \(y=\frac{-5}{2}.\)

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm loại \(I\) và loại \(II\) được sản xuất rĐiều kiện \(x\), \(y\) nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{align} 3x+2y\le 180 \\ x+6y\le 220 \\ x>0 \\ y>0 \\ \end{align} \right.\)

Miền nghiệm của hệ trên là:

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là \(T=0,5x+0,4y\) (triệu đồng).

Ta thấy \(T\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\). Vì \(C\) có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại \(A\left( 60;0 \right)\) thì \(T=30\) triệu đồng.

Tại \(B\left( 40;30 \right)\) thì \(T=32\) triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là \(32\) triệu đồng.

Để bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) là bậc nhất hai ẩn thì:

\({{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+m \right)}^{2}}>0\)\(\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\left( 1+{{m}^{2}} \right)>0\)\(\Leftrightarrow m\ne -1\).

Điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) nên tọa độ điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thỏa mãn bất phương trình.

Từ đó ta có

\(m+1+2\left( {{m}^{2}}+m \right)-1>0\)\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+3m>0\)\(\Leftrightarrow m\left( 2m+3 \right)>0\) (*).

\((*)\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 2m + 3 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 2m + 3 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m > - \frac{3}{2} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ m < - \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - \frac{3}{2} \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m\ne -1\) ta được \(m\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\).

Với hai tập khác rỗng \(A\), \(B\) ta có điều kiện:

\(\left\{ \begin{align} m-1<4 \\ 2m+2>-2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} m<5 \\ m>-2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow -2<m<5\).

Để \(A\cap B\ne \varnothing \Leftrightarrow m-1<2m+2\)\(\Leftrightarrow m>-3\).

So với kết quả của điều kiện thì \(-2<m<5\).