Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) là:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & 2x+30{}^\circ \ne 90{}^\circ +k180{}^\circ  \\  & 3x+40{}^\circ \ne k180{}^\circ  \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 30{}^\circ +k90{}^\circ  \\  & x\ne -\frac{40{}^\circ }{3}+k60{}^\circ  \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 1 \right): & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\cot \left( 3x-{{40}^{{}^\circ }} \right)  \\   \Leftrightarrow  & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\tan \left[ {{90}^{{}^\circ }}-\left( 3x-{{40}^{{}^\circ }} \right) \right]  \\   \Leftrightarrow  & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\tan \left( {{130}^{{}^\circ }}-3x \right)  \\   \Leftrightarrow  & 2x+{{30}^{{}^\circ }} & ={{130}^{{}^\circ }}-3x+k{{180}^{{}^\circ }}  \\   \Leftrightarrow  & 5x & ={{100}^{{}^\circ }}+k{{180}^{{}^\circ }}  \\   \Leftrightarrow  & x & ={{20}^{{}^\circ }}+k{{36}^{{}^\circ }}\left( k\in \mathbb{Z} \right).  \\\end{array}\)

Ta có: \(0{}^\circ <x<180{}^\circ \Leftrightarrow 0{}^\circ <20{}^\circ +k36{}^\circ <180{}^\circ \).

\(\Leftrightarrow -20{}^\circ <k36{}^\circ <160{}^\circ \Leftrightarrow -\frac{5}{9}<k<\frac{40}{9}\Rightarrow k=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}\).

Vậy phương trình (1) có 5 nghiệm.

Phương trình cần tìm là phương trình đi qua \(A\left( 1;1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{BC}\left( 1;-3;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến, do đó có dạng là:

\(1(x-1)-3(y-1)+1(z-1)=0\Leftrightarrow x-3y+z+1=0\)

a) Đúng.

Xác suất để người đó không mắc căn bệnh M là:

\(100\%-22\%=78\%\).

b) Đúng.

Gọi A là biến cố "Bị mắc bệnh M",

       B là biến cố "Bộ test cho kết quả dương tính".

Do xác suất bị mắc bệnh M là \(22%\) nên \(P\left( A \right)=0,22\).

Từ dữ kiện "Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ test cho ra kết quả dương tính là \(10%\)".

Suy ra \(P\left( B\mid \bar{A} \right)=0,1\).

"Xác suất bộ test cho kết quả âm tính khi người đó không bị bệnh", tức là \(P\left( \bar{B}\mid \bar{A} \right)\).

Ta có \(P\left( \bar{B}\mid \bar{A} \right)=1-P\left( B\mid \bar{A} \right)=1-0,1=0,9=90%\).

c) Sai.

Trước hết từ dữ kiện "Nếu bộ test cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70%\)" suy ra \(P\left( A\mid B \right)=0,7\). Từ ba dữ kiện trên, ta có hệ phương trình:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P\left( A \right)=0,22 \\  & P\left( B|\bar{A} \right)=\frac{P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( {\bar{A}} \right)}=0,1 \\  & P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P\left( A \right)=0,22 \\  & P\left( \bar{A}B \right)=0,1.P\left( {\bar{A}} \right)=0,1.0,78=0,078 \\  & \frac{P\left( B \right)-P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P\left( \bar{A}B \right)=0,078 \\  & 1-\frac{0,078}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   P\left( A \right)=0,22  \\   P\left( \bar{A}B \right)=0,078  \\   P\left( B \right)=0,26  \\\end{array} \right.\).

Xác suất cần tính chính là:

\(P\left( B\mid A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\frac{P\left( B \right)-P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,26-0,078}{0,22}=0,8273=82,73%.\)

d) Sai.

“Xác suất một người bị bệnh và xét nghiệm ra kết quả dương tính hoặc một người không bị bệnh và xét nghiệm ra kết quả âm tính”.

Khi đó, xác suất cần tính là:

\(\begin{align}\mathrm{P}(\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{AB}}) & =\mathrm{P}(\mathrm{AB})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})=\mathrm{P}(\mathrm{~B})-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{~A}})-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}}) \\& =0,26-0,078+0,78-0,078=0,884=88,4 \%\end{align}\)

a) Đúng.

Mảnh trên được biểu diễn bởi elip: \(\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\Rightarrow {{y}^{2}}=4\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{16} \right)\).

Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi:

\({{V}_{1}}=\pi \int\limits_{-4}^{0}{\left[ 4\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{16} \right) \right]dx}=\frac{\pi }{4}\int\limits_{-4}^{0}{\left( 16-{{x}^{2}} \right)dx}\left( c{{m}^{3}} \right)\).

b) Đúng.

Thể tích phần trong mảnh trên là:

\({{V}_{1}}=\frac{\pi }{4}\int\limits_{-4}^{0}{\left( 16-{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{32\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)\).

Mảnh dưới được biểu diễn bởi đường tròn:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow {{y}^{2}}=4-{{x}^{2}}\)

Thể tích phần trong dưới là:

\({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{16\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)\).

Vậy thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.

c) Đúng.

Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là:

\(V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{32\pi }{3}+\frac{16\pi }{3}=16\pi \left( c{{m}^{3}} \right)\).

d) Sai.

Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục tạo bởi một nửa hình elip và một nửa hình tròn nên diện tích thiết diện của quả trứng là:

\(S=\frac{\pi .8.4}{2}+\pi {{.2}^{2}}=20\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\).

a) Đúng.

Vì \(\overrightarrow{AD}=\left( {{x}_{D}}-1\,;{{y}_{D}}-1\,;\,{{z}_{D}} \right)\), \(\overrightarrow{BC}=\left( 2\,;\,-2\,;\,2 \right)\).

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{D}}-1=2 \\  & {{y}_{D}}-1=-2 \\  & {{z}_{D}}=2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{D}}=3 \\  & {{y}_{D}}=-1 \\  & {{z}_{D}}=2 \\ \end{align} \right.\). Vậy \(D\left( 3;\,-1;\,2 \right)\)

b) Đúng.

\(AB=\sqrt{{{\left( -1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}\).

c) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow{EB}=\left( -1\,;-m\,;\,1 \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{B}}-{{x}_{E}}=-1 \\  & {{y}_{B}}-{{y}_{E}}=-m \\  & {{z}_{B}}-{{z}_{E}}=1 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{E}}={{x}_{B}}+1=0 \\  & {{y}_{E}}={{y}_{B}}+m=m \\  & {{z}_{E}}={{z}_{B}}-1=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow E\left( 0;m;0 \right)\).

Thực hiện tương tự với \(\overrightarrow{EC}=\left( 1\,;\,-2-m\,;\,3 \right)\) cũng cho ra tọa độ \(E\left( 0;m;0 \right)\)

Suy ra điểm \(E\) thuộc trục \(Oy\)  Đúng.

Tiếp đến tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) nên ta có:

\(\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{EC}=0\)\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+2=0\).

Phương trình trên vô nghiệm nên không có điểm \(E\) nào. -> Sai.

d) Đúng.

\(E\left( 0;\,m;\,0 \right)\) là điểm thuộc trục \(Oy\).

Điểm \(M\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(MA=2MB\) nên ta có \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=\left( -\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3} \right)\)\(\Leftrightarrow M\left( -\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3} \right)\).

Khi đó \(OM=\frac{\sqrt{6}}{3}\).