Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'B'$.


Ta có $BC \perp AM$ và $BC \perp AA'$ nên $BC \perp (AA'M)$.


Suy ra $(A'B'C') \perp (AA'M)$.


Trong $(AA'M)$, kẻ $AK \perp A'M$ tại $K$.


Khi đó $AK$ là đường vuông góc chung của $(A'B'C')$ và $(AA'M)$ nên $d(A,(A'B'M)) = AK$.


Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.


$\Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.


Kẻ $AE \perp (A'B'M)$ tại $E$. Khi đó $AE$ là khoảng cách cần tìm.


Ta có $\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{AK^2}$.


$AH = \frac{AA' \cdot AB'}{\sqrt{AA'^2 + AB'^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{3a^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$\frac{1}{AE^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{5}{3a^2} = \frac{9}{3a^2} = \frac{3}{a^2}$.


$\Rightarrow AE = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.


$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$d(A,(A'B'M)) = \frac{AA' \cdot AM}{\sqrt{AA'^2 + AM^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2 + \frac{3a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\sqrt{\frac{15a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{15}}{5} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5}$


Gọi $I$ là trung điểm $B'C'$. Ta có $AI \perp B'C'$ và $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


Kẻ $AH \perp A'I$. Khi đó $AH = d(A,(A'B'M))$.


$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$


$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.


$
Ta có \frac{d(A,(A'B'M))}{d(M,(A'B'M))} = \frac{AI}{MI} = 1$.


Gọi $d = d(A,(A'B'M))$.


$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.


$d = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Gọi $V$ là số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng chuyền, $R$ là số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng rổ.
Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng chuyền là $0.38V$.
Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng rổ là $0.38R$.
Tổng số học sinh là $V+R$.
Tổng số học sinh nữ là $0.38V + 0.38R = 0.38(V+R)$.
Xác suất chọn được học sinh nữ là $\frac{0.38(V+R)}{V+R} = 0.38$.

Diện tích hình parabol là $S = \frac{2}{3}ah$, với $a$ là chiều rộng và $h$ là chiều cao.
Trong trường hợp này, $a = 6$ m và $h = 5$ m.
Vậy, $S = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 20$ m$^2$.
Giá thuê mỗi mét vuông là 3 triệu đồng, vậy tổng số tiền phải trả là $20 \cdot 3 = 60$ triệu đồng.
Đáp án đúng là 60 triệu đồng.

Gọi tọa độ điểm $C(x;y;z)$. Vì $C$ thuộc đường thẳng đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ nên ta có:
$C(5+t; 3+2t; -3t)$
Vì $x=8$ nên $5+t = 8 \Rightarrow t=3$.
Suy ra $C(8; 9; -9)$.
Ta có $\vec{AC} = (3; 6; -9) = 3(1; 2; -3) = 3\vec{v}$.
$\Rightarrow AC = 3\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{14}$
$\vec{AB} = k\vec{v} = (k; 2k; -3k)$
$\Rightarrow AB = |k|\sqrt{14} = \sqrt{35} \Rightarrow |k| = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
Vì $C$ nằm trên đường thẳng $AB$ và sau 3 phút thì đến $C$ nên $AC = v*3$ (v là vận tốc cabin).
$AC = 3\sqrt{14} = v*3$ suy ra $v = \sqrt{14}$.
Ta có $AB = \sqrt{35}$ nên thời gian đi từ $A$ đến $B$ là $t = \frac{AB}{v} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
$AC = 3\sqrt{14}$ suy ra thời gian đi từ $A$ đến $C$ là $t' = \frac{AC}{v} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = 3$. Vì sau 3 phút đến $C(8,9,-9)$, ta biết cabin chuyển động từ A->C.
Vì C có hoành độ là 8 nên sau 3 phút kể từ khi xuất phát cabin đến vị trí C.
Ta lại có $AB = |k|\sqrt{14} = \sqrt{35}$
$\Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{35}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow t_{AC} = t_{AB} * \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 3 * \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{35}} * \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 3 * 3 * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 4.5$
Vậy thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường $AC$ là 4.5 phút.

Ta có hệ phương trình:

• $2.1 = a(1.5)^2 + b(1.5)$
• $7.5 = a(2.9)^2 + b(2.9)$

Giải hệ phương trình, ta được $a \approx 0.71$ và $b \approx 0.23$.

Khi tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%, ta có:
$10 = 0.71x^2 + 0.23x$
$0.71x^2 + 0.23x - 10 = 0$
Giải phương trình bậc hai, ta được $x \approx 3.65$ hoặc $x \approx -3.97$ (loại vì $x>0$).

Vậy, nhiệt độ Trái Đất tăng thêm khoảng $3.7^oC$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến $10\%$.