Câu hỏi:
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\).
b) \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = 0\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0;1} \right\}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) là \(0\).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Đây là một câu hỏi Đúng/Sai, không phải trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Do đó, không có một 'đáp án' duy nhất nào cho toàn bộ câu hỏi. Cần phải xác định Đúng/Sai cho từng phần a), b), c), d).
a) $f'(x) = e^{x^2-1} * 2x - 2x = 2xe^{x^2-1} - 2x$. Vậy a) là ĐÚNG.
b) $f(0) = e^{0-1} - 0 = e^{-1} = \frac{1}{e}$. $f(1) = e^{1-1} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Vậy b) là ĐÚNG.
c) $f'(x) = 2xe^{x^2-1} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x(e^{x^2-1} - 1) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $e^{x^2-1} = 1 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x = \pm 1$. Vậy tập nghiệm là $\{-1, 0, 1\}$. Vậy c) là SAI.
d) Xét hàm số trên khoảng $(-1, 1)$. Ta có $f'(x) = 0$ tại $x = -1, 0, 1$. Trong khoảng $(-1, 1)$, ta chỉ xét $x=0$.
Ta có $f(0) = \frac{1}{e} \approx 0.368$. $f(1) = f(-1) = 0$. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-1, 1)$ là 0. Vậy d) là ĐÚNG.
a) $f'(x) = e^{x^2-1} * 2x - 2x = 2xe^{x^2-1} - 2x$. Vậy a) là ĐÚNG.
b) $f(0) = e^{0-1} - 0 = e^{-1} = \frac{1}{e}$. $f(1) = e^{1-1} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Vậy b) là ĐÚNG.
c) $f'(x) = 2xe^{x^2-1} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x(e^{x^2-1} - 1) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $e^{x^2-1} = 1 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x = \pm 1$. Vậy tập nghiệm là $\{-1, 0, 1\}$. Vậy c) là SAI.
d) Xét hàm số trên khoảng $(-1, 1)$. Ta có $f'(x) = 0$ tại $x = -1, 0, 1$. Trong khoảng $(-1, 1)$, ta chỉ xét $x=0$.
Ta có $f(0) = \frac{1}{e} \approx 0.368$. $f(1) = f(-1) = 0$. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-1, 1)$ là 0. Vậy d) là ĐÚNG.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
* f(t) = 45t^2 - t^3
* f'(t) = 45 * 2t - 3t^2 = 90t - 3t^2
Vậy tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t là f'(t) = 90t - 3t^2.
Kiểm tra các đáp án còn lại:
* Số người nhiễm bệnh từ ngày đầu tiên đến ngày thứ 13 là f(13) = 45(13)^2 - (13)^3 = 45 * 169 - 2197 = 7605 - 2197 = 5408 (người). Do đó, đáp án B sai.
* Số người nhiễm bệnh đến ngày thứ 45 là f(45) = 45(45)^2 - (45)^3 = 45^3 - 45^3 = 0. Tuy nhiên, câu hỏi đang hỏi về 'không còn ai nhiễm bệnh' chứ không phải là tổng số người nhiễm bệnh. Do đó, đáp án C sai.
* Xét sự biến thiên của f(t) trong 35 ngày đầu: f'(t) = 90t - 3t^2 = 3t(30 - t). f'(t) > 0 khi 0 < t < 30 và f'(t) < 0 khi t > 30. Vậy số người nhiễm bệnh tăng trong 30 ngày đầu và giảm sau đó. Do đó, đáp án D sai.
Vậy đáp án A đúng.
* f(t) = 45t^2 - t^3
* f'(t) = 45 * 2t - 3t^2 = 90t - 3t^2
Vậy tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t là f'(t) = 90t - 3t^2.
Kiểm tra các đáp án còn lại:
* Số người nhiễm bệnh từ ngày đầu tiên đến ngày thứ 13 là f(13) = 45(13)^2 - (13)^3 = 45 * 169 - 2197 = 7605 - 2197 = 5408 (người). Do đó, đáp án B sai.
* Số người nhiễm bệnh đến ngày thứ 45 là f(45) = 45(45)^2 - (45)^3 = 45^3 - 45^3 = 0. Tuy nhiên, câu hỏi đang hỏi về 'không còn ai nhiễm bệnh' chứ không phải là tổng số người nhiễm bệnh. Do đó, đáp án C sai.
* Xét sự biến thiên của f(t) trong 35 ngày đầu: f'(t) = 90t - 3t^2 = 3t(30 - t). f'(t) > 0 khi 0 < t < 30 và f'(t) < 0 khi t > 30. Vậy số người nhiễm bệnh tăng trong 30 ngày đầu và giảm sau đó. Do đó, đáp án D sai.
Vậy đáp án A đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Xét từng mệnh đề:
a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{-2\}$ là đúng.
b) Ta có $y = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2} = x - 1 + \frac{1}{x + 2}$. Để đồ thị hàm số có tâm đối xứng $I(a;b)$, ta cần tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vector $\vec{OI}$ để hàm số trở thành hàm số lẻ. Khi đó $x = X + a$ và $y = Y + b$. Thay vào phương trình hàm số ban đầu, ta được:
$Y + b = X + a - 1 + \frac{1}{X + a + 2} \Leftrightarrow Y = X + (a - 1 - b) + \frac{1}{X + a + 2}$.
Để hàm số này là hàm số lẻ, ta cần $a - 1 - b = 0$ và $a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = -2$ và $b = a - 1 = -3$.
Vậy tâm đối xứng là $I(-2;-3)$, do đó mệnh đề b sai.
c) $y' = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 5x + 2 - x^2 - x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = -3$.
$y(-1) = \frac{1 - 1 - 1}{-1 + 2} = -1$ và $y(-3) = \frac{9 - 3 - 1}{-3 + 2} = \frac{5}{-1} = -5$.
Vậy hai điểm cực trị là $A(-1;-1)$ và $B(-3;-5)$. Cả hai điểm này đều có tung độ âm, nên nằm cùng phía so với trục hoành. Do đó, mệnh đề c đúng.
d) Giao điểm với trục tung là $M(0;y(0)) = M(0;\frac{-1}{2})$.
$y'(0) = \frac{(0 + 1)(0 + 3)}{(0 + 2)^2} = \frac{3}{4}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y - y(0) = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}$. Do đó, mệnh đề d đúng.
a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{-2\}$ là đúng.
b) Ta có $y = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2} = x - 1 + \frac{1}{x + 2}$. Để đồ thị hàm số có tâm đối xứng $I(a;b)$, ta cần tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vector $\vec{OI}$ để hàm số trở thành hàm số lẻ. Khi đó $x = X + a$ và $y = Y + b$. Thay vào phương trình hàm số ban đầu, ta được:
$Y + b = X + a - 1 + \frac{1}{X + a + 2} \Leftrightarrow Y = X + (a - 1 - b) + \frac{1}{X + a + 2}$.
Để hàm số này là hàm số lẻ, ta cần $a - 1 - b = 0$ và $a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = -2$ và $b = a - 1 = -3$.
Vậy tâm đối xứng là $I(-2;-3)$, do đó mệnh đề b sai.
c) $y' = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x - 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 5x + 2 - x^2 - x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = -3$.
$y(-1) = \frac{1 - 1 - 1}{-1 + 2} = -1$ và $y(-3) = \frac{9 - 3 - 1}{-3 + 2} = \frac{5}{-1} = -5$.
Vậy hai điểm cực trị là $A(-1;-1)$ và $B(-3;-5)$. Cả hai điểm này đều có tung độ âm, nên nằm cùng phía so với trục hoành. Do đó, mệnh đề c đúng.
d) Giao điểm với trục tung là $M(0;y(0)) = M(0;\frac{-1}{2})$.
$y'(0) = \frac{(0 + 1)(0 + 3)}{(0 + 2)^2} = \frac{3}{4}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y - y(0) = y'(0)(x - 0) \Leftrightarrow y + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}$. Do đó, mệnh đề d đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
$f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2}$
$f(0) = 2\cos(0) + 0\sqrt{2} = 2$.
$f(\pi) = 2\cos(\pi) + \pi\sqrt{2} = -2 + \pi\sqrt{2}$.
Vậy đáp án b đúng.
Xét $f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2} = 0$ trên $[0, \pi]$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{3\pi}{4}$
Vậy phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm trên $[0, \pi]$.
Tính $f(0) = 2$, $f(\pi) = -2 + \pi\sqrt{2}$, $f(\frac{\pi}{4}) = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\sqrt{2} = \sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{4}) = 2\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{3\pi}{4}\sqrt{2} = -\sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$
Giá trị lớn nhất là $-2 + \pi\sqrt{2}$, giá trị nhỏ nhất là 2.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $\pi\sqrt{2}$.
$f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2}$
$f(0) = 2\cos(0) + 0\sqrt{2} = 2$.
$f(\pi) = 2\cos(\pi) + \pi\sqrt{2} = -2 + \pi\sqrt{2}$.
Vậy đáp án b đúng.
Xét $f'(x) = -2\sin x + \sqrt{2} = 0$ trên $[0, \pi]$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{3\pi}{4}$
Vậy phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm trên $[0, \pi]$.
Tính $f(0) = 2$, $f(\pi) = -2 + \pi\sqrt{2}$, $f(\frac{\pi}{4}) = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\sqrt{2} = \sqrt{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{4}) = 2\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{3\pi}{4}\sqrt{2} = -\sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$
Giá trị lớn nhất là $-2 + \pi\sqrt{2}$, giá trị nhỏ nhất là 2.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $\pi\sqrt{2}$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$.
$y' = 3x^2 + 6x - 9$.
$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) = 0$.
Vậy $x = 1$ hoặc $x = -3$.
Khi đó, hai điểm cực trị là $A(-3, 26)$ và $B(1, -6)$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là:
$\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - 26}{-6 - 26} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 26}{-32} \Leftrightarrow -32(x + 3) = 4(y - 26) \Leftrightarrow -32x - 96 = 4y - 104 \Leftrightarrow 4y = -32x + 8 \Leftrightarrow y = -8x + 2$.
Vậy $a = -8$ và $b = 2$, suy ra $a + b = -8 + 2 = -6$.
Cách khác: Vì $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$ nên $y' = 3x^2 + 6x - 9$. Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được $y = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{6})y' + (-6x - 4)$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = -6x - 4$, suy ra $a = -6$ và $b = -4$. Vậy $a+b = -10$. Cả 2 cách đều không ra đáp án đúng, xem lại đề bài. Nếu đề bài sửa thành $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ thì $y = -6x + 7$, nên $a = -6, b = 7$, vậy $a+b = 1$. Không có đáp án đúng.
$y' = 3x^2 + 6x - 9$.
$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) = 0$.
Vậy $x = 1$ hoặc $x = -3$.
Khi đó, hai điểm cực trị là $A(-3, 26)$ và $B(1, -6)$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là:
$\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - 26}{-6 - 26} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 26}{-32} \Leftrightarrow -32(x + 3) = 4(y - 26) \Leftrightarrow -32x - 96 = 4y - 104 \Leftrightarrow 4y = -32x + 8 \Leftrightarrow y = -8x + 2$.
Vậy $a = -8$ và $b = 2$, suy ra $a + b = -8 + 2 = -6$.
Cách khác: Vì $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$ nên $y' = 3x^2 + 6x - 9$. Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được $y = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{6})y' + (-6x - 4)$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = -6x - 4$, suy ra $a = -6$ và $b = -4$. Vậy $a+b = -10$. Cả 2 cách đều không ra đáp án đúng, xem lại đề bài. Nếu đề bài sửa thành $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$ thì $y = -6x + 7$, nên $a = -6, b = 7$, vậy $a+b = 1$. Không có đáp án đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $t_1$ là thời gian đi thuyền từ A đến C (giờ), $t_2$ là thời gian đi bộ từ C đến B (giờ), $t_3$ là thời gian đi bộ từ B về A (giờ). Ta có:
Ta có $\widehat{ACB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\triangle ABC$ vuông tại C. Do đó $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Suy ra:
$(1500t_1)^2 + BC^2 = 150^2 \Rightarrow BC = \sqrt{150^2 - (1500t_1)^2} = 150\sqrt{1 - 100t_1^2}$
Độ dài cung $C B$ là $150\cdot \alpha $, với $\alpha $ là số đo góc ở tâm chắn cung $C B$.
Ta có $sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1500t_1}{150} = 10t_1\Rightarrow \alpha = 2arcsin(10t_1)$
Thời gian đi bộ trên cung CB là: $t_2 = \dfrac{150\cdot 2arcsin(10t_1)}{3000} = \dfrac{arcsin(10t_1)}{10}$ (giờ).
Thời gian đi bộ trên đoạn AB là $t_3 = \dfrac{150}{3000} = 0,05$ (giờ).
Vậy tổng thời gian là:
$T = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + 0,05 + \dfrac{2}{60} = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ (giờ).
Xét hàm số $T(t_1) = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ trên $\[0;\dfrac{1}{10}\]$.
Ta có $T'(t_1) = 1 + \dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{10}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} > 0 \forall t_1 \in \left( {0;\dfrac{1}{10}} \right)$.
Do đó hàm $T(t_1)$ đồng biến trên $\left[ {0;\dfrac{1}{10}} \right]$.
Suy ra $T(t_1)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t_1 = 0$.
Vậy $T(0) = \dfrac{2}{15}$ (giờ) = 8 (phút).
Suy ra thời gian chậm nhất người đó về đến $A$ là: $8 + 2 + \dfrac{{\pi .150}}{{2.3000}}.60 = 10 + 4,71 = 102,5$ (phút).
- $AC = 1,5t_1$ (km) = $1500t_1$ (m)
- $AB = 150$ (m) = 0,15 (km)
- $BA = 0,15$ (km)
Ta có $\widehat{ACB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\triangle ABC$ vuông tại C. Do đó $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
Suy ra:
$(1500t_1)^2 + BC^2 = 150^2 \Rightarrow BC = \sqrt{150^2 - (1500t_1)^2} = 150\sqrt{1 - 100t_1^2}$
Độ dài cung $C B$ là $150\cdot \alpha $, với $\alpha $ là số đo góc ở tâm chắn cung $C B$.
Ta có $sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{1500t_1}{150} = 10t_1\Rightarrow \alpha = 2arcsin(10t_1)$
Thời gian đi bộ trên cung CB là: $t_2 = \dfrac{150\cdot 2arcsin(10t_1)}{3000} = \dfrac{arcsin(10t_1)}{10}$ (giờ).
Thời gian đi bộ trên đoạn AB là $t_3 = \dfrac{150}{3000} = 0,05$ (giờ).
Vậy tổng thời gian là:
$T = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + 0,05 + \dfrac{2}{60} = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ (giờ).
Xét hàm số $T(t_1) = t_1 + \dfrac{arcsin(10t_1)}{10} + \dfrac{2}{15}$ trên $\[0;\dfrac{1}{10}\]$.
Ta có $T'(t_1) = 1 + \dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{10}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1 - 100t_1^2}} > 0 \forall t_1 \in \left( {0;\dfrac{1}{10}} \right)$.
Do đó hàm $T(t_1)$ đồng biến trên $\left[ {0;\dfrac{1}{10}} \right]$.
Suy ra $T(t_1)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t_1 = 0$.
Vậy $T(0) = \dfrac{2}{15}$ (giờ) = 8 (phút).
Suy ra thời gian chậm nhất người đó về đến $A$ là: $8 + 2 + \dfrac{{\pi .150}}{{2.3000}}.60 = 10 + 4,71 = 102,5$ (phút).
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
