Câu hỏi:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int_a^b f^2(x) dx$.
Trong trường hợp này, $f(x) = \sqrt{x}$, $a=0$, $b=1$. Vậy:
$V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^1 x dx = \pi \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^1 = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Tổng số người là 30, vậy trung vị là trung bình của người thứ 15 và 16.
- Nhóm 1: 7 người
- Nhóm 2: 7 + 16 = 23 người
Vậy người thứ 15 và 16 thuộc nhóm 2.

Ta có $\overrightarrow{BC} = C - B = (2-1, 0-(-5), 1-3) = (1, 5, -2)$.
Đường thẳng đi qua $A(1, 2, 3)$ và song song với $BC$ có phương trình là $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{-2}$.

Nhận thấy đây là hàm bậc 3 ($y=ax^3+bx^2+cx+d$).

Vì $\lim_{x \to \infty} y = + \infty$ nên $a > 0$. Do đó loại đáp án A.

Hàm số có 2 cực trị nên $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Kiểm tra đáp án D: $y' = 3x^2 + 6x = 0 \leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$. (Thỏa mãn)

Thay $x=0$ vào $y = x^3+3x^2-1$ được $y = -1$ (Thỏa mãn)

Thay $x=-2$ vào $y = x^3+3x^2-1$ được $y = 3$ (Thỏa mãn)

Vậy đáp án là D.

Điều kiện xác định: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Ta có $\log(x - 1) < 2 \Leftrightarrow x - 1 < 10^2 \Leftrightarrow x - 1 < 100 \Leftrightarrow x < 101$. Kết hợp với điều kiện $x > 1$, ta được $1 < x < 101$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1; 101)$.