Câu hỏi:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({{d}_{1}}\), \({{d}_{2}}\) lần lượt là:

\(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -2;1 \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2 \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Rightarrow {{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}.\)

Tam thức \(f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-x+6\) có: \(\left\{ \begin{align}  & a=-1<0 \\  & \Delta =25>0 \\ \end{align} \right.\)

nên \(f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=3\). 

Suy ra \(f\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in \left[ -2;3 \right]\).

Gọi bán kính của đường tròn là \(R\).

Khi đó: \(R=d\left( I,\Delta  \right)=\frac{\left| 3-5\left( -2 \right)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 3+10+1 \right|}{\sqrt{1+25}}=\frac{14}{\sqrt{26}}.\)

Giả sử phương trình đường tròn đi qua 3 điểm \(A,B,C\) có dạng:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\).

Thay tọa độ 3 điểm \(A\left( 0;4 \right)\), \(B\left( 2;4 \right)\), \(C\left( 2;0 \right)\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & 8b+c=-16 \\  & 4a+8b+c=-20 \\  & 4a+c=-4. \\ \end{align} \right.\)

Giải hệ phương trình: \(a=-1,\,b=-2,\,c=0.\)

Vậy phương trình đường tròn là: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y=0.\)

Biểu thức \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2\,024x+2\,025\) có dạng \(a{{x}^{2}}+bx+c\,\left( a\ne 0 \right)\) là tam thức bậc hai.