Câu hỏi:

Ta có $y' = 4x^3 - 4m^2x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm m.$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 0.$

Suy ra toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$A(0; m^2), B(m; m^2 - m^4), C(-m; m^2 - m^4).$

Để bốn điểm $A, B, C, O$ là bốn đỉnh của hình thoi thì trung điểm đường chéo $OA$

thuộc đường chéo $BC$

$\Leftrightarrow m^2 - m^4 = \frac{m^2}{2}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m = 0 \ (l) \\ m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

Vậy $m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3x^2 - 3$,

$y' = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = -1 \end{cases}$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy khi x tăng dần, hàm số có chiều hướng đi lên từ trái sang phải.

Suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Đạo hàm $y^{\prime}=-4 x^3-6 x=-x\left(4 x^2+6\right)$;

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=0 .$

Vẽ bảng biến thiên và kết luận được hàm số có một cực đại duy nhất.

Xét hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1 ; 3]$. Dựa vào đồ thị ta có $\max _{[-1 ; 3]} f(x)=f(3)=3$.