Câu hỏi:

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số đạo hàm

Lời giải

\(f(t)=\frac{200}{1+4 e^{-t}} \Rightarrow f^{\prime}(t)=200 \cdot \frac{-4 e^{-t}(-1)}{\left(1+4 e^{-t}\right)}=200 \cdot \frac{4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)} \\ f^{\prime \prime}(t)=200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)^{2}-2\left(1+4 e^{-t}\right)\left(-4 e^{-t}\right) \cdot 4 e^{-t}}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}} \\ =200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1+4 e^{-t}-8 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}} \\ =200 \frac{-4 e^{-t}\left(1+4 e^{-t}\right)\left(1-4 e^{-t}\right)}{\left(1+4 e^{-t}\right)^{4}} \\ f^{\prime \prime}(t)=0 \Leftrightarrow e^{-t}=\frac{1}{4} \Rightarrow t=-\ln \left(\frac{1}{4}\right)=\ln 4\)

Bảng biến thiên:

Vậy sau khi hạt nảy mầm khoảng \(\ln 4 \approx 1,38\) tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất.

Phương pháp giải

Sử dụng số hạng tổng quát cấp số nhân

Lời giải

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội \(q=1,0091\)

Dân số của quốc gia đó năm 2030 tức \(\mathrm{n}=11\) là: \(\mathrm{u}_{11}=97.1,0091^{10}=106,197\) triệu người

Phương pháp giải

Xác suất có điều kiện

Lời giải

\(\Omega=\{G G ; G T ; T G, T T\}\)

Số phần tử không gian mẫu: \(n_{\Omega}=4\)

Gọi \(A\) là biến cố : "2 người con đều là gái"

Gọi \(B\) là biến cố : "Có ít nhất một người con là gái"

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n_{A}=1\)

Số phần tử của biến cố \(B\) là \(n_{B}=3\)

\(\Rightarrow n(A \cap B)=1\)

\(P(A \mid B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{1}{3}\)

Phương pháp giải

Xác suất có điều kiện

Lời giải

Gọi \(C\) là biến cố: "Người con đầu là con gái"

Số phần tử của \(C: n(C)=2\)

\(\Rightarrow P(A \mid C)=\frac{n(A \cap C)}{n(C)}=\frac{1}{2}\)

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm mũ.

Lời giải

Giả thiết cho \(2^{x-2 y} .(2 x+1)=4 y+2 x+4\)

\(\Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2(2 y+x+2) 2^{2 y} \Leftrightarrow 2^{x} .(2 x+1)=2^{2 y+1}(2 y+x+2)\)

\(\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1)\)

Xét hàm số \(f(t)=2^{t} .(t+1)\) trên \((0 ;+\infty)\); suy ra

\(f^{\prime}(t)=2^{t} .(t+1) \ln 2+2^{t}>0, \forall t \in(0 ;+\infty)\)

Vậy hàm số \(f(t)\) luôn đồng biến trên \((0 ;+\infty)\) nên ta có:

\(\Leftrightarrow 2^{2 x} .(2 x+1)=2^{2 y+x+1}(2 y+x+1+1) \Leftrightarrow 2 x=2 y+x+1 \Leftrightarrow x=2 y+1\)

Suy ra:

\(P=2^{x-y-2}-x-y^{2}+2037=2^{y-1}-\left(y^{2}+2 y+1\right)+2037=\frac{1}{4} .2^{y+1}-(y+1)^{2}+2037\)

Xét hàm số \(g(a)=\frac{1}{4} .2^{a}-a^{2} ; a \in[2 ; 4]\)

\(g^{\prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln 2}{4}-2 a \Rightarrow g^{\prime \prime}(a)=\frac{2^{a} \cdot \ln ^{2} 2}{4}-2<0, \forall a \in[2 ; 4]\)

\(\Rightarrow g^{\prime}(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)

\(\Rightarrow \max _{[2 ; 4]} g^{\prime}(a)=g^{\prime}(2)=\ln 2-4<0\)

\(\Rightarrow g(a)\) luôn nghịch biến trên \([2 ; 4]\)

\(\Rightarrow \min g(a)=g(4)=-12\)

Vậy \(\min P=-12+2037=2025\) khi \(y+1=4 \Rightarrow y=3 ; x=7\).