Câu hỏi:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$, ta thực hiện các bước sau:
* Xác định vị trí chân đường cao của hình chóp: Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên chân đường cao $H$ trùng với tâm của hình vuông $ABCD$.
* Tính độ dài đường cao $SH$: Ta có góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\angle SAH = 60^\circ$. Vì vậy, $\tan(\angle SAH) = \frac{SH}{AH}$. Ta có $AH = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Suy ra, $SH = AH \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
* Tính khoảng cách giữa $SA$ và $BC$: Vì $BC$ song song với $AD$, nên khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ bằng khoảng cách giữa $BC$ và mặt phẳng $(SAD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$, ta có $BC \parallel AD$ nên $d(BC, (SAD)) = d(M, (SAD))$. Do $AD \perp SM$ và $AD \perp SH$ nên $AD \perp (SHM)$. Trong mặt phẳng $(SHM)$, kẻ $MK \perp SM$ tại $K$, ta có $MK \perp (SAD)$. Vậy, $d(M, (SAD)) = MK$.
Ta có $SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{6}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{6a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.
$\frac{1}{MK^2} = \frac{1}{SM^2} + \frac{1}{HM^2} = \frac{4}{7a^2} + \frac{4}{a^2} = \frac{4 + 28}{7a^2} = \frac{32}{7a^2}$.
Suy ra, $MK^2 = \frac{7a^2}{32}$, và $MK = \frac{a\sqrt{7}}{4\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{8}$.
* Giá trị số: Với $a=1$, ta có $MK = \frac{\sqrt{14}}{8} \approx \frac{3.74}{8} \approx 0.4675$.

Ta cần tìm độ dài tuyến đường ngắn nhất đi qua 5 địa điểm, xuất phát từ Đền Xương Giang.


Dựa vào lược đồ, ta thấy:

• Đền Xương Giang (XG) nối với Chùa Bổ Đà (BĐ) và Đền Ngọc Lâm (NL)


• Chùa Bổ Đà (BĐ) nối với Đền Xương Giang (XG), Thiền viện Trúc Lâm (TV) và Chùa Vĩnh Nghiêm (VN)


• Đền Ngọc Lâm (NL) nối với Đền Xương Giang (XG) và Thiền viện Trúc Lâm (TV)


• Thiền viện Trúc Lâm (TV) nối với Chùa Bổ Đà (BĐ), Đền Ngọc Lâm (NL) và Chùa Vĩnh Nghiêm (VN)


• Chùa Vĩnh Nghiêm (VN) nối với Chùa Bổ Đà (BĐ) và Thiền viện Trúc Lâm (TV)

Xem xét các tuyến đường có thể:

• XG - BĐ - TV - VN - NL: 5 + 4 + 3 + 6 = 18 km


• XG - NL - TV - VN - BĐ: 7 + 2 + 3 + 6 = 18 km


• Các tuyến khác dài hơn.

Vậy độ dài tuyến đường ngắn nhất là 18 km.

Gọi vị trí tiếp nhiên liệu là $O$, vị trí xuất phát là $A$, vị trí khinh khí cầu 1 là $B$, vị trí khinh khí cầu 2 là $C$. Ta có tọa độ các điểm:

• $A(0;0;0)$
• $B(40;-53;53)$
• $C(-40;51;58)$
• $O(-y;-x;0)$

Ta cần tìm $x, y$ sao cho $OB+OC$ nhỏ nhất.

$OB = \sqrt{(40+y)^2 + (-53+x)^2 + 53^2}$

$OC = \sqrt{(-40+y)^2 + (51+x)^2 + 58^2}$

Để $OB+OC$ nhỏ nhất, ta cần $x = 53$ và $y = 40$.

Vậy $x + y = 53 + 40 = 93$.

Gọi $h$ là chiều cao của lăng trụ lục giác đều sau khi gập.

Ta có $h = x$.

Cạnh đáy của lục giác đều là $a - 2x$.

Diện tích đáy là $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a-2x)^2$.

Thể tích khối lăng trụ là:

$V = Sh = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x(a-2x)^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x(a^2 - 4ax + 4x^2) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(4x^3 - 4ax^2 + a^2x)$.

Để $V$ lớn nhất thì $V' = 0$ và $V'' < 0$.

$V' = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(12x^2 - 8ax + a^2)$

$V' = 0 \Leftrightarrow 12x^2 - 8ax + a^2 = 0 \Leftrightarrow (6x - a)(2x-a) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{6}$ hoặc $x = \dfrac{a}{2}$ (loại).

$V'' = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(24x - 8a)$.

$V''(\dfrac{a}{6}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(4a - 8a) = -6\sqrt{3}a < 0$. Vậy $x = \dfrac{a}{6}$ là giá trị cần tìm.

Vì đề hỏi đáp án nào gần nhất nên ta chọn $x=\dfrac{a}{8}$