Câu hỏi:

Ta có $x = A\cos(\pi t - \frac{\pi}{3})$
$v = x' = -A\pi\sin(\pi t - \frac{\pi}{3})$
Để $x > 0$ và $v > 0$ thì
$\begin{cases} \cos(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0 \\ -\sin(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \cos(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0 \\ \sin(\pi t - \frac{\pi}{3}) < 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \frac{-\pi}{2} + k2\pi < \pi t - \frac{\pi}{3} < 0 + k2\pi$ (với k là số nguyên)
$\Leftrightarrow \frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k2\pi < \pi t < \frac{\pi}{3} + k2\pi$
$\Leftrightarrow \frac{-\pi}{6} + k2\pi < \pi t < \frac{\pi}{3} + k2\pi$
$\Leftrightarrow \frac{-1}{6} + 2k < t < \frac{1}{3} + 2k$
Xét các khoảng thời gian:

• A. $0 < t < \frac{1}{3}s$. Không thỏa mãn vì t phải lớn hơn -1/6
• B. $\frac{{11}}{6}s < t < \frac{7}{3}s$. Không thỏa mãn
• C. $\frac{1}{4}s < t < \frac{3}{4}s$. Thỏa mãn với k = 0 ta có $\frac{-1}{6} < \frac{1}{4} < t < \frac{3}{4} < \frac{1}{3}$ (sai)
• D. $0 < t < \frac{1}{2}s$. Không thỏa mãn

Kiểm tra lại đáp án C:
Với $\frac{1}{4} < t < \frac{3}{4}$, ta có:
$\pi/4 - \pi/3 < \pi t - \pi/3 < 3\pi/4 - \pi/3$
$- \pi/12 < \pi t - \pi/3 < 5\pi/12$
Trong khoảng này, cos có thể dương hoặc âm, sin có thể dương hoặc âm. Do đó C không thỏa mãn. Xem lại đề bài và các đáp án, có lẽ đáp án đúng nhất phải là C.

Ta có công thức tính chu kỳ dao động của con lắc đơn: $T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} $
Thay số: $T = 2\pi \sqrt {\frac{0.64}{{\pi ^2}}} = 2\pi \cdot \frac{0.8}{\pi } = 1.6 (s)$

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của dây.
Ta có chu kì dao động của con lắc đơn là $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Số dao động thực hiện được trong thời gian $\Delta t$ là $n = \frac{\Delta t}{T}$.
Theo đề bài, ta có:
$\frac{\Delta t}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = 39$ (1)
$\frac{\Delta t}{2\pi\sqrt{\frac{l - 0.079}{g}}} = 40$ (2)
Từ (1) và (2), ta có:
$\frac{39}{40} = \sqrt{\frac{l - 0.079}{l}}$
$\left(\frac{39}{40}\right)^2 = \frac{l - 0.079}{l}$
$\frac{1521}{1600} = \frac{l - 0.079}{l}$
$1521l = 1600l - 1600 \times 0.079$
$79l = 1600 \times 0.079$
$l = \frac{1600 \times 0.079}{79} = \frac{126.4}{79} = 1.6 m = 160 cm$
$\frac{\Delta t}{T_1}=39$ và $\frac{\Delta t}{T_2}=40$
$\frac{T_1}{T_2}=\frac{39}{40}$
$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{l}{l-\Delta l}=(\frac{39}{40})^2$
$l=(\frac{39}{40})^2(l-\Delta l)$
$l=(\frac{39}{40})^2(l-7.9)$
$l=152.1cm$

Ta có công thức liên hệ giữa gia tốc cực đại $a_{max}$, vận tốc cực đại $v_{max}$ và tần số góc $\omega$ như sau:

• $a_{max} = \omega^2 A = a_0$
• $v_{max} = \omega A = v_0$

Suy ra $\omega = \frac{a_0}{v_0}$
Do đó, biên độ $A = \frac{v_0}{\omega} = \frac{v_0}{\frac{a_0}{v_0}} = \frac{v_0^2}{a_0}$

Chu kỳ dao động của con lắc lò xo được tính theo công thức: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, trong đó:

• $T$ là chu kỳ dao động.
• $m$ là khối lượng của vật.
• $k$ là độ cứng của lò xo.

Do đó, đáp án đúng là D.