Câu hỏi:

Giả sử miếng bìa hình vuông $ABCD$, đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông $MNPQ$ tâm $O$ có cạnh bằng $x$ dm ($0 < x < 6\sqrt{2}$) như hình vẽ. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $MQ$ và $NP$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $6$ dm nên $AC = 6\sqrt{2}$ dm, $HK = x$ dm.

Ta có $AH = \dfrac{AC-HK}{2} = 3\sqrt{2} - \dfrac{x}{2}$ dm.

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

$h = AO = \sqrt{AH^2 - OH^2} = \sqrt{\left(3\sqrt{2}-\dfrac{x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{18-3\sqrt{2}x}$ (dm).

Thể tích của khối chóp là:

$V = \dfrac{1}{3}h x^2 = \dfrac{1}{3}x^2\sqrt{18-3\sqrt{2}x} = \dfrac{1}{3}\sqrt{x^4(18-3\sqrt{2}x)}$ (dm$^3$).

Để tìm giá trị lớn nhất của $V$ ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số

$f(x) = x^4(18 – 3\sqrt{2}x)$ với $0 < x \le 3\sqrt{2}$.

Ta có: $f'(x) = x^3(-15\sqrt{2}x + 72)$, $f'(x) = 0$ khi $x = 0$ hoặc $x = \dfrac{12\sqrt{2}}{5}$.

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có $\max\limits_{(0;3\sqrt{2}]} f(x) = f\left(\dfrac{12\sqrt{2}}{5}\right) \approx 477, 76$.

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng $V_{\max} \approx \dfrac{1}{3}\sqrt{477,76} \approx 7,3$ (dm$^3$).

1. Phân Tích Lực Kéo Lên

Mỗi dây cáp $F_i$ tạo với mặt phẳng ngang góc $60^\circ$, nên nó tạo với phương thẳng đứng góc $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Thành phần lực kéo lên theo phương thẳng đứng của mỗi dây là:

$F_{iy} = F_i \cdot \cos(30^\circ) = 4500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ N

Tổng hợp lực kéo lên của bốn dây là:

$F_{keo} = 4 \cdot F_{iy} = 4 \cdot 4500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9000\sqrt{3}$ N

2. Áp dụng Điều kiện Cân bằng

Tổng lực kéo lên cân bằng với tổng trọng lực kéo xuống:

$F_{keo} = P_{khung} + P_{xe}$

$9000\sqrt{3} = 2700 + P_{xe}$

Trọng lượng của ô tô là:

$P_{xe} = 9000\sqrt{3} - 2700 \text{ N}$

3. Kết quả và Làm tròn

$P_{xe} \approx 15\,588.45 - 2700 = 12\,888.45 \text{ N}$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:

$\mathbf{P_{xe} \approx 12\,888 \text{ N}}$

Trọng lượng của chiếc xe ô tô bằng 12 888 Newton.

Hàm số nghịch biến khi $y' < 0$.

Dựa vào bảng xét dấu, $y' < 0$ trên khoảng $(3;7)$.

Vậy đáp án là C.

Dựa vào đồ thị, ta suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x=0\) và giá trị cực đại .

Xét đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0 ; 4]$ như hình vẽ: Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2 ; \underset{[0 ; 4]}{\min } y=f(2)=1$.