Câu hỏi:
Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc \(10^\circ ,\,AB = 1{\rm{\;m}},\,AD = 1,5{\rm{\;m}}\), \(AA' = 1{\rm{\;m}}\). Đáy bể là hình chữ nhật \(ABCD\). Các điểm \(A,B\) cùng ở độ cao \(5{\rm{\;m}}\) (so với mặt đất), các điểm \(C,D\) ở độ cao lớn hơn so với độ cao của các điểm \(A,B\). Khi nước trong bể phẳng lặng người ta đo được khoảng cách giữa đường mép nước ở mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và mặt đáy của bể là \(80{\rm{\;cm}}\). Tính thể tích của phần nước trong bể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét khối).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $h_C, h_D$ lần lượt là độ cao của $C$ và $D$ so với mặt phẳng chứa $A$ và $B$. Vì góc nghiêng của mái nhà là $10^\circ$ nên độ cao của $C$ và $D$ so với mặt phẳng chứa $A$ và $B$ là:
$h_C = h_D = AD \cdot \tan(10^\circ) = 1.5 \cdot \tan(10^\circ) \approx 0.265 \, m$
Vì mực nước cách mặt $ABB'A'$ là $0.8m$ nên khoảng cách từ mặt nước đến mặt $CDD'C'$ là:
$0.8 + h_C = 0.8 + 0.265 = 1.065 \, m$
Thể tích nước trong bể là diện tích đáy nhân với trung bình cộng độ cao của mực nước so với đáy:
$V = AB \cdot AD \cdot \frac{0.8 + 1.065}{2} = 1 \cdot 1.5 \cdot \frac{0.8 + 1.065}{2} = 1.5 \cdot 0.9325 = 1.39875 \approx 1.40 \, m^3$
Nhưng vì mực nước là 80cm tính từ mặt $ABB'A'$, nên ta tính chiều cao trung bình của cột nước:
$h_{tb} = \frac{0.8 + 0.8 + 1.5 \tan(10^\circ)}{2} = \frac{1.6 + 0.265}{2} = 0.9325$
Vậy thể tích nước là:
$V = 1 \cdot 1.5 \cdot 0.9325 = 1.39875 m^3$. Kết quả này có vẻ không hợp lý, cần xem lại đề bài và hình vẽ.
Chiều cao mực nước trung bình là $h = 0.8 + \frac{1}{2}AD\tan(10^o) = 0.8 + \frac{1}{2}*1.5*0.1763 = 0.8 + 0.1322 = 0.9322 m$
Thể tích $V = 1*1.5*0.8 = 1.2 m^3$ (xấp xỉ). Ta tính lại:
Chiều cao cột nước tại $A$ và $B$ là 0.8m, tại $C$ và $D$ là $0.8 + 1.5\tan(10^o) = 0.8 + 1.5 * 0.176 = 1.064m$
Chiều cao trung bình là $(0.8 + 1.064)/2 = 0.932$
Thể tích là $V = 1*1.5*0.932 = 1.398m^3$ làm tròn là $1.40 m^3$
*Tính lại*: Khoảng cách từ A,B đến mặt nước là 0.8m
Khoảng cách từ C,D đến mặt nước là $x$. Góc $10^o$ tạo bởi mặt đất và mái nhà.
$\tan(10^o) = \frac{x}{1.5} => x = 1.5*\tan(10^o) = 0.264m$
Vậy chiều cao của nước tại C,D là $0.8 + 0.264 = 1.064m$
Chiều cao trung bình của nước là: $(0.8 + 1.064)/2 = 0.932m$
Thể tích nước là $1*1.5*0.932 = 1.398 m^3$ (làm tròn 2 số sau dấu phẩy là $1.40 m^3$). Có lẽ đề sai.
$h_C = h_D = AD \cdot \tan(10^\circ) = 1.5 \cdot \tan(10^\circ) \approx 0.265 \, m$
Vì mực nước cách mặt $ABB'A'$ là $0.8m$ nên khoảng cách từ mặt nước đến mặt $CDD'C'$ là:
$0.8 + h_C = 0.8 + 0.265 = 1.065 \, m$
Thể tích nước trong bể là diện tích đáy nhân với trung bình cộng độ cao của mực nước so với đáy:
$V = AB \cdot AD \cdot \frac{0.8 + 1.065}{2} = 1 \cdot 1.5 \cdot \frac{0.8 + 1.065}{2} = 1.5 \cdot 0.9325 = 1.39875 \approx 1.40 \, m^3$
Nhưng vì mực nước là 80cm tính từ mặt $ABB'A'$, nên ta tính chiều cao trung bình của cột nước:
$h_{tb} = \frac{0.8 + 0.8 + 1.5 \tan(10^\circ)}{2} = \frac{1.6 + 0.265}{2} = 0.9325$
Vậy thể tích nước là:
$V = 1 \cdot 1.5 \cdot 0.9325 = 1.39875 m^3$. Kết quả này có vẻ không hợp lý, cần xem lại đề bài và hình vẽ.
Chiều cao mực nước trung bình là $h = 0.8 + \frac{1}{2}AD\tan(10^o) = 0.8 + \frac{1}{2}*1.5*0.1763 = 0.8 + 0.1322 = 0.9322 m$
Thể tích $V = 1*1.5*0.8 = 1.2 m^3$ (xấp xỉ). Ta tính lại:
Chiều cao cột nước tại $A$ và $B$ là 0.8m, tại $C$ và $D$ là $0.8 + 1.5\tan(10^o) = 0.8 + 1.5 * 0.176 = 1.064m$
Chiều cao trung bình là $(0.8 + 1.064)/2 = 0.932$
Thể tích là $V = 1*1.5*0.932 = 1.398m^3$ làm tròn là $1.40 m^3$
*Tính lại*: Khoảng cách từ A,B đến mặt nước là 0.8m
Khoảng cách từ C,D đến mặt nước là $x$. Góc $10^o$ tạo bởi mặt đất và mái nhà.
$\tan(10^o) = \frac{x}{1.5} => x = 1.5*\tan(10^o) = 0.264m$
Vậy chiều cao của nước tại C,D là $0.8 + 0.264 = 1.064m$
Chiều cao trung bình của nước là: $(0.8 + 1.064)/2 = 0.932m$
Thể tích nước là $1*1.5*0.932 = 1.398 m^3$ (làm tròn 2 số sau dấu phẩy là $1.40 m^3$). Có lẽ đề sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Để thể tích lều lớn nhất, ta cần tìm $x$ sao cho thể tích lều đạt giá trị lớn nhất. Lều có dạng hình lăng trụ có đáy là tam giác cân với cạnh đáy là $x$ và chiều cao là $\sqrt{5^2 - (x/2)^2}$ và chiều cao lăng trụ là 3. Thể tích lều là:
$V = 3.\frac{1}{2}.x.\sqrt{25 - \frac{x^2}{4}} = \frac{3}{4}.x.\sqrt{100 - x^2}$
Xét hàm $f(x) = x^2(100 - x^2)$ với $0 < x < 10$. Để $V$ max thì $f(x)$ max.
$f'(x) = 200x - 4x^3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 50 \Leftrightarrow x = 5\sqrt{2}$
Khi đó: $V_{max} = \frac{3}{4}.5\sqrt{2}.\sqrt{100 - 50} = \frac{3}{4}.5\sqrt{2}.5\sqrt{2} = \frac{3}{4}.50 = \frac{75}{2}$
Vậy $a = 75, b = 2$. Do đó: $45a - \frac{1}{2}b = 45.75 - \frac{1}{2}.2 = 3375 - 1 = 3374$.
$V = 3.\frac{1}{2}.x.\sqrt{25 - \frac{x^2}{4}} = \frac{3}{4}.x.\sqrt{100 - x^2}$
Xét hàm $f(x) = x^2(100 - x^2)$ với $0 < x < 10$. Để $V$ max thì $f(x)$ max.
$f'(x) = 200x - 4x^3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 50 \Leftrightarrow x = 5\sqrt{2}$
Khi đó: $V_{max} = \frac{3}{4}.5\sqrt{2}.\sqrt{100 - 50} = \frac{3}{4}.5\sqrt{2}.5\sqrt{2} = \frac{3}{4}.50 = \frac{75}{2}$
Vậy $a = 75, b = 2$. Do đó: $45a - \frac{1}{2}b = 45.75 - \frac{1}{2}.2 = 3375 - 1 = 3374$.
Câu 1:
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]. Cạnh bên \[SA \bot \,\left( {ABCD} \right),\] \[SA = 2a\]. Khoảng cách từ trung điểm \[M\] của \[AB\] đến mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] là
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \parallel CD$. Do đó, $M$ thuộc đường thẳng $AB$ song song với $CD$, mà $CD \subset (SAD)$ nên $AB \parallel (SAD)$, suy ra $d(M,(SAD))=d(B,(SAD))$. Kẻ $BH \perp AD$ tại $H$, suy ra $BH=a$. Kẻ $BK \perp SH$ tại $K$, suy ra $BK \perp (SAD)$, do đó $d(B,(SAD)) = BK$. Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ có $SA=2a, AH=a$ nên $SH = \sqrt{SA^2+AH^2} = a\sqrt{5}$. Xét tam giác $SAH$ vuông tại $A$, có $AB \perp (ABCD)$, suy ra $AD \perp SA$, do đó $AD \perp (SAB)$. Suy ra $(SAD) \perp (SAB)$. Trong tam giác $SAD$, kẻ $AK \perp SD$, suy ra $AK = \frac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}} = \frac{2a.a}{\sqrt{4a^2+a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$. Trong tam giác $SAB$, kẻ $AE \perp SB$, suy ra $AE = \frac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}} = \frac{2a.a}{\sqrt{4a^2+a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$. Kẻ $AH \perp (SAD)$, suy ra $d(A,(SAD)) = AH$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $d(M,(SAD)) = \frac{1}{2} d(A,(SAD)) = \frac{a}{2}$.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Gọi $a = OA = OB = OC$. Ta có tọa độ các điểm: $O(0;0;0)$, $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;a)$.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $M(0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$.
Suy ra $\overrightarrow{OM} = (0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$ và $\overrightarrow{AB} = (-a; a; 0)$.
Ta có $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = 0.(-a) + \frac{a}{2}.a + \frac{a}{2}.0 = \frac{a^2}{2}$.
$|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{0^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} = a\sqrt{2}$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $OM$ và $AB$, ta có:
$\cos{\alpha} = \frac{|\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{AB}|} = \frac{|\frac{a^2}{2}|}{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}$.
Vậy $\alpha = 60^\circ$.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $M(0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$.
Suy ra $\overrightarrow{OM} = (0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$ và $\overrightarrow{AB} = (-a; a; 0)$.
Ta có $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = 0.(-a) + \frac{a}{2}.a + \frac{a}{2}.0 = \frac{a^2}{2}$.
$|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{0^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} = a\sqrt{2}$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $OM$ và $AB$, ta có:
$\cos{\alpha} = \frac{|\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{AB}|} = \frac{|\frac{a^2}{2}|}{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}$.
Vậy $\alpha = 60^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO \perp (ABCD)$.
Do đó, khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ là độ dài đoạn $SO$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt{2}$. Suy ra $AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$, ta có: $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Do đó, khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ là độ dài đoạn $SO$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt{2}$. Suy ra $AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$, ta có: $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên mặt phẳng $(SAB)$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $C$ đối xứng với $B$ qua $AB$. Do đó, hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ là $B$. Vậy $E \equiv B$.
Góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc $\widehat{BSC}$.
*Tính góc* $\widehat{BSC}$
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = a\sqrt{6}$.
Xét tam giác $SBC$ có $SB = a\sqrt{6}$, $BC = 2a$, $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = a\sqrt{6}$.
Suy ra tam giác $SBC$ cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $SM \perp BC$.
$SM = \sqrt{SB^2 - MB^2} = \sqrt{(a\sqrt{6})^2 - a^2} = a\sqrt{5}$.
$\sin \widehat{BSC} = \frac{MC}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$\widehat{BSC} = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{6}})$.
Cách khác: Tính tan góc $\widehat{BSC}$.
$SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AB$. Mà $SA = a\sqrt{2}, AB = 2a$.
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{2a^2 + 4a^2} = a\sqrt{6}$.
Trong $(SAB)$, kẻ $BE \perp SB$ tại $B$, khi đó góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{BSC}$.
Do đó $sin\widehat{BSC} = \frac{BC}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $\widehat{BSC} = 60^\circ$ .
Góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc $\widehat{BSC}$.
*Tính góc* $\widehat{BSC}$
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = a\sqrt{6}$.
Xét tam giác $SBC$ có $SB = a\sqrt{6}$, $BC = 2a$, $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = a\sqrt{6}$.
Suy ra tam giác $SBC$ cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $SM \perp BC$.
$SM = \sqrt{SB^2 - MB^2} = \sqrt{(a\sqrt{6})^2 - a^2} = a\sqrt{5}$.
$\sin \widehat{BSC} = \frac{MC}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$\widehat{BSC} = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{6}})$.
Cách khác: Tính tan góc $\widehat{BSC}$.
$SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AB$. Mà $SA = a\sqrt{2}, AB = 2a$.
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{2a^2 + 4a^2} = a\sqrt{6}$.
Trong $(SAB)$, kẻ $BE \perp SB$ tại $B$, khi đó góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{BSC}$.
Do đó $sin\widehat{BSC} = \frac{BC}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $\widehat{BSC} = 60^\circ$ .
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
