Câu hỏi:

Ta có \(\vec{OA} = (3;-2;1)\), \(\vec{OB} = (-5;-3;1)\).

\([\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}]=\left(\left|\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ -3 & 1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 1 & -5\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -5 & -3\end{array}\right|\right)=(1 ;-8 ;-19)\).

Do đó \(\vec{n} = (1;-8;-19)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).

Ta có \(\overrightarrow{ CA }=(3 ;-2 ;-4), \overrightarrow{ BC }=(5 ; 3 ; 4)\) nên:

\(\sin (\mathrm{CA},(\mathrm{OAB}))=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{n}}|}\)\(=\frac{|3 \cdot 1+(-2) \cdot(-8)+(-4) \cdot(-19)|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+(-4)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-8)^2+(-19)^2}}\)\(=\frac{95}{\sqrt{12354}}\).

Suy ra \((\mathrm{CA},(\mathrm{OAB})) \approx 59^{\circ}\).

\(\sin (\mathrm{BC},(\mathrm{OAB}))=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{n}}|}\)\(=\frac{|5 \cdot 1+3 \cdot(-8)+4 \cdot(-19)|}{\sqrt{5^2+3^2+4^2} \cdot \sqrt{1^2+(-8)^2+(-19)^2}}\)\(=\frac{95}{10 \sqrt{213}}\).

Suy ra \((B C,(O A B)) \approx 41^{\circ}\).

Vậy tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi bằng \(59^{\circ}+41^{\circ}=100^{\circ}\).

Gọi các biến cố:

A: “Bóng được lấy ra từ hộp II cho vào hộp I là màu đỏ”.

\(\bar{A}\): “Bóng được lấy ra từ hộp II cho vào hộp I là màu xanh”.

B: “Bóng được lấy ra từ hộp I là quả bóng màu đỏ”.

* TH1: A xảy ra. Để B xảy ra thì có 2 công đoạn:

+ Chọn được bóng đỏ từ hộp II: \(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\).

Sau khi cho bóng đỏ từ hộp II vào hộp I, hộp I có 9 quả đỏ trong tồng số 13 quả.

+ Chọn được bóng đỏ từ hộp I: \(P(B|A) = \frac{9}{13}\).

Vậy xác suất xảy ra TH1 là \(\mathrm{P}(\mathrm{A}) \,.\, \mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{A})=\frac{2}{5} \cdot \frac{9}{13}=\frac{18}{65}\).

* TH2: \(\bar{A}\) xảy ra. Để B xảy ra thì có 2 công đoạn:

+ Chọn được bóng xanh từ hộp II: \(\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\).

Sau khi cho bóng xanh từ hộp II vào hộp I, hộp I có 8 quả đỏ trong tổng số 13 quả.

+ Chọn được bóng đỏ từ hộp I: \(P(B|\bar{A}) = \frac{8}{13}\).

Vậy xác suất xảy ra TH2 là \(\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \,.\, \mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \overline{\mathrm{A}})=\frac{3}{5} \cdot \frac{8}{13}=\frac{24}{65}\).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần:

\(\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \,.\, \mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{A})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \,.\, \mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \overline{\mathrm{A}})=\frac{18}{65}+\frac{24}{65}=\frac{42}{65} \approx 0,65\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\int dx = x+C\) và \(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\).

Lời giải chi tiết:

\(F(x) = \int \pi^2 dx = \pi^2 \int dx = \pi^2 x + C\).

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa tích phân \(\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\).

Lời giải chi tiết:

\(\int_1^2 f(x)dx = F(2)-F(1) = 3 - (-2) = 5\).

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết:

\(\int_0^1 [f(x) - g(x)]dx = \int_0^1 f(x)dx - \int_0^1 g(x)dx = 3-7=- 4.\)