Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số \(\frac{7}{16}\). Hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Kẻ \(AH\bot BC\) ta có \(A{A}'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A{A}'\bot AH\Rightarrow \) \(AH\) là đoạn vuông góc chung của \(A{A}'\,v\grave{a}\,BC\).

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(ABC\): \(AH=AB.\sin 60=\frac{6\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=9\).

Sử dụng thuật toán láng giềng gần ta có:

Từ đỉnh A đỉnh gần nhất là đỉnh B với quãng đường \(AB=10\,\,(km)\).

Từ đỉnh B, đỉnh chưa đến gần nhất là C với quãng đường \(BC=25(km)\).

Từ đỉnh C, đỉnh chưa đến còn lại là D với quãng đường \(CD=30(km)\).

Đến đây, không còn đỉnh nào nữa nên quay lại đỉnh A, với quãng đường: \(DA=20\,\,(km)\).

Tổng số quãng đường đi được theo chu trình \(ABCDA\) là: \(85\,\,(km)\).

Tương tự với các đỉnh còn lại, ta có bảng sau:

 Vậy cần chọn đường đi ngắn nhất là CABDC với tổng số km là 80.

Vì hướng bay và vận tốc bay của con chim không đổi nên \(\overrightarrow{AB},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{BC}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\) cùng hướng.

Mặt khác, do thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}\)

 \(\left\{ \begin{matrix}   40-20=2\left( a-40 \right)  \\   50-40=2\left( b-50 \right)  \\   50-30=2\left( c-50 \right)  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   2a=100  \\   2b=110  \\   2c=120  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=50  \\   b=55  \\   c=60  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow a+b+c=165.\)

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\).

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\in Oy\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{9}{4}=c,\left( I\in \left( P \right) \right)  \\   \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\left( A\in \left( P \right) \right)  \\   \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\left( B\in \left( P \right) \right)  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   c=\frac{9}{4}  \\   a=-1  \\   b=0  \\\end{array} \right. \right.\)

Vậy \(\left( P \right):y=-{{x}^{2}}+\frac{9}{4}\).

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

\(S=\int\limits_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}{\left( -{{x}^{2}}+\frac{9}{4} \right)\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( -{{x}^{2}}+\frac{9}{4} \right)\text{d}x}=\left. 2\left( \frac{-{{x}^{3}}}{3}+\frac{9}{4}x \right) \right|_{0}^{\frac{9}{4}}=\frac{9}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}}\).

Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1\,\,500\,\,000=6\,\,750\,\,000\) đồng.

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\left( x\in \mathbb N ,\,\,x>0 \right)\).

Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{8000}{30x}\).

Tổng chi phí để sản xuất là:

\(P\left( x \right)=200x+\frac{8000}{30x}.192=200x+\frac{51200}{x}\).

Ta có: \({P}'\left( x \right)=200-\frac{51200}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=256\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=16 \\  & x=-16\left( L \right) \\ \end{align} \right.\).

Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.