Câu hỏi:

Hàm số \(f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là \(f^{\prime}(x)=|x-1|\). Biết rằng \(f(0)=3\). Tổng \(f(2)+f(4)\) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng: 12

Ta có \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x-1 & \text { khi } & x \geq 1 \\ -(x-1) & \text { khi } & x<1\end{array}\right.\).

Khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\int(x-1) \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}-x+C_{1}\).

Khi \(x<1\) thì \(f(x)=-\int(x-1) \mathrm{d} x=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{2}\).

Theo đề bài ta có \(f(0)=3\) nên \(C_{2}=3 \Rightarrow f(x)=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\) khi \(x<1\).

Mặt khác do hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\) nên \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)\)

\(\Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\right]=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left[\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{1}\right]\)

\(\Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)+3=\frac{1}{2}-1+C_{1} \Leftrightarrow C_{1}=4\)

Vậy khi \(x \geq 1\) thì \(f(x)=\frac{x^{2}}{2}-x+4\).

\(\Rightarrow f(2)+f(4)=12\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề Thi Tham Khảo Đánh Giá Năng Lực Năm 2024 – ĐHQG Hà Nội – Đề Số 02

28/05/2025

6 lượt thi

0 / 50

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 1:

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=3\), công bội \(q=2\). Khi đó \(u_{5}\) bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\).

Do đó \(u_{5}=3.2^{4}=48\).

Câu 2:

Cho hình chóp \(S. A B C D\) trong đó \(A B C D\) là hình chữ nhật, \(S A \perp(A B C D)\). Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông

Lời giải:

Đáp án đúng: D

\(\triangle S B C\) vuông tại \(B\) do \(B C \perp(S A B) \Rightarrow B C \perp S B\)

\(\triangle S C D\) vuông tại \(C\) do \(C D \perp(S A D) \Rightarrow C D \perp S D\)

\(\triangle S A B\) vuông tại A do \(S A \perp A B\)

Câu 3:

Tìm số gần đúng của \(a=5,2463\) với độ chính xác \(d=0,001\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Độ chính xác \(d=0,001\) nên ta quy tròn số gần đúng \(a=5,2463\) đến hàng phần trăm và ta được số gần đúng là \(a \approx 5,25\).

Câu 4:

Cho hình chóp \(S. A B C D\) có \(S A \perp(A B C D)\) và đáy là hình vuông. Từ \(A\) kẻ \(A H \perp S B\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Có \(\left\{\begin{array}{l}B C \perp S A B C \perp A B\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B)\right.\) mà \(A H \subset(S A B)\) nên \(B C \perp A H\).

Có \(\left\{\begin{array}{l}A H \perp S B A H \perp B C\end{array} \Rightarrow A H \perp(S B C)\right.\).

Câu 5:

\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-2}\) bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{1+8}-3}{1-2}=0\)

Câu 6:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau: