Câu hỏi:

Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:

• 1. Tính giá trị đại diện $x_i$ cho mỗi khoảng thời gian. Giá trị đại diện là trung điểm của mỗi khoảng.


• 2. Tính trung bình mẫu $\bar{x}$ theo công thức: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i}$, với $n_i$ là tần số của khoảng thứ $i$.


• 3. Tính phương sai mẫu $s^2$ theo công thức: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i - 1}$.

Trong bài này:

• Khoảng [10; 10.4): $x_1 = 10.2$, $n_1 = 3$


• Khoảng [10.4; 10.8): $x_2 = 10.6$, $n_2 = 8$


• Khoảng [10.8; 11.2): $x_3 = 11.0$, $n_3 = 6$


• Khoảng [11.2; 11.6): $x_4 = 11.4$, $n_4 = 2$


• Khoảng [11.6; 12.0): $x_5 = 11.8$, $n_5 = 1$

Tổng số lần chạy: $N = 3 + 8 + 6 + 2 + 1 = 20$
Trung bình mẫu:
$\bar{x} = \frac{10.2*3 + 10.6*8 + 11.0*6 + 11.4*2 + 11.8*1}{20} = \frac{30.6 + 84.8 + 66 + 22.8 + 11.8}{20} = \frac{216}{20} = 10.8$
Phương sai mẫu:
$s^2 = \frac{(10.2-10.8)^2*3 + (10.6-10.8)^2*8 + (11.0-10.8)^2*6 + (11.4-10.8)^2*2 + (11.8-10.8)^2*1}{20-1}$
$= \frac{(-0.6)^2*3 + (-0.2)^2*8 + (0.2)^2*6 + (0.6)^2*2 + (1.0)^2*1}{19}$
$= \frac{0.36*3 + 0.04*8 + 0.04*6 + 0.36*2 + 1}{19} = \frac{1.08 + 0.32 + 0.24 + 0.72 + 1}{19} = \frac{3.36}{19} \approx 0.1768$
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, thường được tính bằng công thức:
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N} = \frac{3.36}{20} = 0.168$
Giá trị gần nhất trong các đáp án là 0.42. Có vẻ như có một sai sót nhỏ trong các đáp án hoặc trong cách tính.
Sử dụng công thức khác cho phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2 = \frac{1}{n} \sum n_i (x_i - \bar{x})^2$, với $n = \sum n_i = 20$
$s^2 = \frac{1}{20} [3*(10.2-10.8)^2 + 8*(10.6-10.8)^2 + 6*(11-10.8)^2 + 2*(11.4-10.8)^2 + 1*(11.8-10.8)^2]$
$s^2 = \frac{1}{20} [3*0.36 + 8*0.04 + 6*0.04 + 2*0.36 + 1] = \frac{1}{20} [1.08 + 0.32 + 0.24 + 0.72 + 1] = \frac{3.36}{20} = 0.168$
Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{0.168} \approx 0.4098$
Nếu tính độ lệch chuẩn theo công thức $\sigma = \sqrt{\frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{3.36}{19}} = \sqrt{0.1768} \approx 0.41$
Vậy đáp án gần nhất là 0,42.

Hàm số nghịch biến khi đạo hàm $f'(x) < 0$.

Dựa vào bảng xét dấu, $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-2; 1)$.

Vậy đáp án là D.

Xét hàm số $f(x) = \frac{{\ln x}}{x}$ trên $\left[ {1;{e^2}} \right)$. Ta có $f'(x) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e$. Tính $f(1) = 0$, $f(e) = \frac{1}{e}$, $\mathop {lim}\limits_{x \to {e^2}^ - } f(x) = \frac{2}{{{e^2}}}$. Suy ra $m = 0$, $M = \frac{1}{e}$. Vậy $\ln (m + M) = \ln (0 + \frac{1}{e}) = \ln (\frac{1}{e}) = - 1$.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

• Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ nên loại đáp án A, C.


• Đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$.


• Đồ thị đi qua điểm $(0; -1)$. Thay $x=0$ vào đáp án D, ta được $y = \frac{{2(0) + 1}}{{0 - 1}} = -1$ (thỏa mãn).


• Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$