Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm  chi phí thấp nhất của xe giao hàng.

Gọi \(A\) là biến cố “An lấy được thẻ ghi số chẵn”; \(B\)  là biến cố “ X chia hết cho 2”.

Ta cần tính \(P\left( A|B \right)\). Ta có:

\(P\left( A|B \right)=\frac{P\left( A \right).P\left( B|A \right)}{P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)}\);

\(P\left( A \right)=\frac{4}{9}\,;\,P\left( \overline{A} \right)=\frac{5}{9}\,;\,P\left( B|A \right)=1-P\left( \overline{B}|A \right)=1-\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{5}{6}\).

\(P\left( B|\overline{A} \right)=1-P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=1-\frac{C_{5}^{3}}{C_{11}^{3}}=\frac{31}{33}.\)

Vậy \(P\left( A|B \right)=\frac{22}{53}\approx 0,42\).

Do \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(MA=MB\) nên \(M\) thuộc giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\), trong đó \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

+ Tìm được \(\left( Q \right):\,y+z=0\).

+ Khi đó \(M\) thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align}  & x=1+3t \\  & y=-t \\  & z=t \\ \end{align} \right.\) với \(d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\).

\(\Rightarrow M\left( 1+3t\,;\,-t\,;\,t \right)\).

+ Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( 3t-1\,;\,-t-2\,;\,t \right)\,,\,\overrightarrow{BM}=\left( 3t-1\,;\,-t\,;\,t+2 \right)\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) & =\frac{{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}+2\left( {{t}^{2}}+2t \right)}{{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}}  \\   {} & =\frac{11{{t}^{2}}-2t+1}{11{{t}^{2}}-2t+5}  \\   {} & =1-\frac{4}{11{{t}^{2}}-2t+5}.  \\\end{array}\) 

Suy ra \(\widehat{AMB}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(t=\frac{1}{11}\).

\(\Rightarrow M\left( \frac{14}{11}\,;\,-\frac{1}{11}\,;\,\frac{1}{11} \right)\)\(\Rightarrow S=a+b+c=\frac{14}{11}\approx 1,27\).

Gọi \(I=AC\cap BD\) suy ra \(I\left( \frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{4}\,;\,1 \right)\). \(D\left( \frac{1}{2}\,;\,0\,;\,1 \right)\).

\(BD=\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,IB=ID=\frac{\sqrt{2}}{4};SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\frac{\sqrt{94}}{20}\).

Vậy \(S\left( \frac{1}{4}\,;\,\frac{1}{4}\,;\,\frac{\sqrt{94}}{20}+1 \right)\), suy ra \(a+b+c\approx 1,98\).

\({{3}^{x-1}}=9\)\(\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}={{3}^{2}}\)\(\Leftrightarrow x=3\).

Ta có \(\int{\left( x-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\ln \left| x \right|+C\).