Câu hỏi:

Độ sâu mực nước tăng dần khi đạo hàm của $h$ theo $t$ dương.
Ta có $h'(t) = 2 \cdot \frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6} t ) = \frac{\pi}{3} \cos(\frac{\pi}{6} t )$.
$h'(t) > 0$ khi $\cos(\frac{\pi}{6} t ) > 0$.
Điều này xảy ra khi $-\frac{\pi}{2} + k2\pi < \frac{\pi}{6} t < \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên.
Hay $-3 + 12k < t < 3 + 12k$.
Vì $t$ là thời gian trong ngày (từ 0 đến 24), ta xét các khoảng:

• $k = 0$: $-3 < t < 3$. Vậy $0 \le t < 3$.
• $k = 1$: $9 < t < 15$.
• $k = 2$: $21 < t < 27$. Vậy $21 < t \le 24$.

Tổng thời gian mực nước tăng là $3 + (15 - 9) + (24 - 21) = 3 + 6 + 3 = 12$ giờ.
Vì câu hỏi yêu cầu tìm $T$, ta tính khoảng thời gian mà $h'(t) > 0$ trong một chu kỳ $T = 12$ giờ.

Gọi chiều dài của cánh đồng là $x$ và chiều rộng là $y$. Vì chỉ cần rào 3 cạnh nên ta có $x + 2y = 400$. Diện tích của cánh đồng là $S = xy$. Ta muốn tìm giá trị lớn nhất của $S$. Từ $x + 2y = 400$, ta có $x = 400 - 2y$. Thay vào công thức diện tích, ta được $S = (400 - 2y)y = 400y - 2y^2$. Để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta tìm đạo hàm của $S$ theo $y$ và giải phương trình $S' = 0$. $S'(y) = 400 - 4y$. Đặt $S'(y) = 0$, ta có $400 - 4y = 0 \Rightarrow y = 100$. Khi $y = 100$, ta có $x = 400 - 2(100) = 200$. Vậy diện tích lớn nhất là $S = xy = 200 * 100 = 20000$ m$^2$.

Gọi $x$ là số ngày máy $X$ làm việc, $y$ là số ngày máy $Y$ làm việc.
Ta có $x + y = 10$ và $0 \le y \le 6$ suy ra $4 \le x \le 10$.
Số tiền lãi thu được là $L = 5x + 6y = 5x + 6(10 - x) = 60 - x$.
Để $L$ lớn nhất thì $x$ phải nhỏ nhất. Vậy $x = 4$.
Vậy cần sử dụng máy $X$ làm việc trong 4 ngày.

Ta có $A'(1;0;0), B'(0;2;0), C'(0;0;0)$. Do đó $A'B' = \sqrt{(0-1)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{5}$, $A'C' = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 1$, $B'C' = \sqrt{(0-0)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2} = 2$. Vì $A', B', C'$ cùng thuộc mặt phẳng $Oxy$, nên $A'B'C'$ là một tam giác vuông tại $C'$. Vậy $S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} A'C' \cdot B'C' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Vì $AC = BC$ và $AD = BD$ nên $CM \perp AB$ và $DM \perp AB$. Suy ra $AB \perp (CDM)$. Vì $J$ là trung điểm của $CD$ nên $CD \perp MJ$. Do đó, $CD \perp (ABM)$.
Ta có $CM = DM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - (5\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{25 - 75/4} = \sqrt{25/4} = 5/2$.
$MJ = 5\sqrt{6}/2$.
$MI = |AM - AI| = |5\sqrt{3}/2 - 3|$.
$IJ = \sqrt{MI^2 + MJ^2} = \sqrt{((5\sqrt{3} - 6)/2)^2 + (5\sqrt{6}/2)^2} = \sqrt{(261 - 60\sqrt{3})/4} \approx 5.241$.