Giả sử 4 thành phố A, B, C, D với khoảng cách (đơn vị: km) giữa các thành phố được cho bởi bảng sau:

Hãy tính quãng đường ngắn nhất để đi qua tất cả các thành phố đúng một lần rồi quay lại thành phố xuất phát?

Vì hướng bay và vận tốc bay của con chim không đổi nên \(\overrightarrow{AB},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{BC}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\) cùng hướng.

Mặt khác, do thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}\)

 \(\left\{ \begin{matrix}   40-20=2\left( a-40 \right)  \\   50-40=2\left( b-50 \right)  \\   50-30=2\left( c-50 \right)  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   2a=100  \\   2b=110  \\   2c=120  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=50  \\   b=55  \\   c=60  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow a+b+c=165.\)

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\).

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\in Oy\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{9}{4}=c,\left( I\in \left( P \right) \right)  \\   \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\left( A\in \left( P \right) \right)  \\   \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\left( B\in \left( P \right) \right)  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   c=\frac{9}{4}  \\   a=-1  \\   b=0  \\\end{array} \right. \right.\)

Vậy \(\left( P \right):y=-{{x}^{2}}+\frac{9}{4}\).

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

\(S=\int\limits_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}{\left( -{{x}^{2}}+\frac{9}{4} \right)\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( -{{x}^{2}}+\frac{9}{4} \right)\text{d}x}=\left. 2\left( \frac{-{{x}^{3}}}{3}+\frac{9}{4}x \right) \right|_{0}^{\frac{9}{4}}=\frac{9}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}}\).

Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1\,\,500\,\,000=6\,\,750\,\,000\) đồng.

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\left( x\in \mathbb N ,\,\,x>0 \right)\).

Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{8000}{30x}\).

Tổng chi phí để sản xuất là:

\(P\left( x \right)=200x+\frac{8000}{30x}.192=200x+\frac{51200}{x}\).

Ta có: \({P}'\left( x \right)=200-\frac{51200}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=256\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=16 \\  & x=-16\left( L \right) \\ \end{align} \right.\).

Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

+ Khi kiểm tra lại, trong \(1200\) người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có \(70\%\) số người cho kết quả dương tính nên ta có:

\(70\%.1\,200=840\) (người).

Khi đó số bị người nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính trong số \(1200\) người đó là:

\(1\,200-840=360\) (người).

+ Khi kiểm tra lại, trong \(6\,800\) người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có \(5\%\) số người đó cho kết quả dương tính nên ta có là:

\(5\%.6\,800=340\) (người).

Khi đó, số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính trong \(6\,800\) người đó là:

\(6\,800-340=6\,460\) (người).

Từ đó ta có bảng sau: (đơn vị: người)

+ Xét các biến cố sau:

\(A:\) “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”;

\(B:\) “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”;

\(C:\) “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả dương tính (khi kiểm tra lại)”;

Khi đó, ta có \(P\left( C \right)=\frac{1180}{8000}=\frac{59}{400};\,\,\,P\left( A.C \right)=\frac{840}{8000}=\frac{21}{200}\).

Vậy \(P\left( A|C \right)=\frac{21}{200}:\frac{59}{400}=\frac{42}{59}\approx 0,71\).

\(\int{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)dx={{x}^{3}}+x+C.}\)