Cho dãy số \(\left( u{}_{n} \right)\) có số hạng tổng quát \({{u}_{n}}=\frac{2}{n}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

Tập xác định của hàm số \(D=\left( 1;\,2 \right)\cup \left( 2;\,+\infty  \right)\).

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-3x+2}\)\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}}}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}\)\(=0\).

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(y=0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-3x+2}\)\(=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{\left( x-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}}=+\infty \).

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(x=1\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-3x+2}=+\infty \).

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(x=2\) là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng \(3\) đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Ta có: \(f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2\).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y=-2.\)

Từ bảng biến thiên ta có số nghiệm là 2.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & 2x+30{}^\circ \ne 90{}^\circ +k180{}^\circ  \\  & 3x+40{}^\circ \ne k180{}^\circ  \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 30{}^\circ +k90{}^\circ  \\  & x\ne -\frac{40{}^\circ }{3}+k60{}^\circ  \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \left( 1 \right): & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\cot \left( 3x-{{40}^{{}^\circ }} \right)  \\   \Leftrightarrow  & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\tan \left[ {{90}^{{}^\circ }}-\left( 3x-{{40}^{{}^\circ }} \right) \right]  \\   \Leftrightarrow  & \tan \left( 2x+{{30}^{{}^\circ }} \right) & =\tan \left( {{130}^{{}^\circ }}-3x \right)  \\   \Leftrightarrow  & 2x+{{30}^{{}^\circ }} & ={{130}^{{}^\circ }}-3x+k{{180}^{{}^\circ }}  \\   \Leftrightarrow  & 5x & ={{100}^{{}^\circ }}+k{{180}^{{}^\circ }}  \\   \Leftrightarrow  & x & ={{20}^{{}^\circ }}+k{{36}^{{}^\circ }}\left( k\in \mathbb{Z} \right).  \\\end{array}\)

Ta có: \(0{}^\circ <x<180{}^\circ \Leftrightarrow 0{}^\circ <20{}^\circ +k36{}^\circ <180{}^\circ \).

\(\Leftrightarrow -20{}^\circ <k36{}^\circ <160{}^\circ \Leftrightarrow -\frac{5}{9}<k<\frac{40}{9}\Rightarrow k=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}\).

Vậy phương trình (1) có 5 nghiệm.

Phương trình cần tìm là phương trình đi qua \(A\left( 1;1;1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{BC}\left( 1;-3;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến, do đó có dạng là:

\(1(x-1)-3(y-1)+1(z-1)=0\Leftrightarrow x-3y+z+1=0\)

a) Đúng.

Xác suất để người đó không mắc căn bệnh M là:

\(100\%-22\%=78\%\).

b) Đúng.

Gọi A là biến cố "Bị mắc bệnh M",

       B là biến cố "Bộ test cho kết quả dương tính".

Do xác suất bị mắc bệnh M là \(22%\) nên \(P\left( A \right)=0,22\).

Từ dữ kiện "Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ test cho ra kết quả dương tính là \(10%\)".

Suy ra \(P\left( B\mid \bar{A} \right)=0,1\).

"Xác suất bộ test cho kết quả âm tính khi người đó không bị bệnh", tức là \(P\left( \bar{B}\mid \bar{A} \right)\).

Ta có \(P\left( \bar{B}\mid \bar{A} \right)=1-P\left( B\mid \bar{A} \right)=1-0,1=0,9=90%\).

c) Sai.

Trước hết từ dữ kiện "Nếu bộ test cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70%\)" suy ra \(P\left( A\mid B \right)=0,7\). Từ ba dữ kiện trên, ta có hệ phương trình:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P\left( A \right)=0,22 \\  & P\left( B|\bar{A} \right)=\frac{P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( {\bar{A}} \right)}=0,1 \\  & P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P\left( A \right)=0,22 \\  & P\left( \bar{A}B \right)=0,1.P\left( {\bar{A}} \right)=0,1.0,78=0,078 \\  & \frac{P\left( B \right)-P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P\left( \bar{A}B \right)=0,078 \\  & 1-\frac{0,078}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   P\left( A \right)=0,22  \\   P\left( \bar{A}B \right)=0,078  \\   P\left( B \right)=0,26  \\\end{array} \right.\).

Xác suất cần tính chính là:

\(P\left( B\mid A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\frac{P\left( B \right)-P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,26-0,078}{0,22}=0,8273=82,73%.\)

d) Sai.

“Xác suất một người bị bệnh và xét nghiệm ra kết quả dương tính hoặc một người không bị bệnh và xét nghiệm ra kết quả âm tính”.

Khi đó, xác suất cần tính là:

\(\begin{align}\mathrm{P}(\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{AB}}) & =\mathrm{P}(\mathrm{AB})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})=\mathrm{P}(\mathrm{~B})-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{~A}})-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}}) \\& =0,26-0,078+0,78-0,078=0,884=88,4 \%\end{align}\)