Câu hỏi:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số:

\(\frac{x^{3}+m}{x-1}=-x+2(x \neq 1) \Leftrightarrow-x^{3}-x^{2}+3 x-2=m(x \neq 1)(*)\).

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Xét hàm số \(f(x)=-x^{3}-x^{2}+3 x-2\) trên \((-\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)\).

Ta có: \(f^{\prime}(x)=-3 x^{2}-2 x+3, f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3} \\ x_{2}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\) :

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=f\left(x_{1}\right) \\ m=f\left(x_{2}\right) \\ m=f(1)\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{-83-20 \sqrt{10}}{27} \\ m=\frac{-83+20 \sqrt{10}}{27} \\ m=-1\end{array} \Rightarrow \sum m=-\frac{193}{27} \approx-7,15\right.\right.\)

Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \(-7,15\).

Gọi số cần tìm có dạng: \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}}\) với \(a_{3}+a_{4}+a_{5}=8\)

Ta có: \(8=1+2+5=1+3+4(*)\).

Vậy có 2 cách chọn nhóm 3 số để các số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn có tổng bằng 8.

Bước 1: Chọn ra 3 trong 8 số thỏa mãn \(a_{3}+a_{4}+a_{5}=8\). Theo phân tích (*) có : 2 cách.

Bước 2: Với mỗi bộ ba số chọn ở bước 1 có: \(3!=6\) cách lập số \(\overline{a_{3} a_{4} a_{5}}\).

Bước 3: Chọn ra số \(\overline{a_{1} a_{2} a_{6}}\) theo thứ tự trên. Số cách chọn: \(A_{6}^{3}=120\).

Theo quy tắc nhân số cách chọn theo yêu cầu là: \(2 \cdot 6 \cdot 120\) =1440 số.

Gọi biến cố \(A\) : "lấy viên bi thứ nhất là màu xanh"; \(B\) : "lấy viên bi thứ hai là màu đỏ".

Ta có: \(P(A)=\frac{3.4}{5.4}=\frac{3}{5} ; P(A \cap B)=\frac{3.2}{5.4}=\frac{3}{10}\).

Do đó: \(P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}\).

ТХĐ: \(D=[-2 ; 4]\).

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{1-x}{\sqrt{8+2 x-x^{2}}} ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y(1)=3\)

Qua \(x=1, y^{\prime}\) đổi dấu từ dương sang âm nên cực đại của hàm số là 3.

Từ đồ thị hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) và giả thiết \(f(-1)=\frac{13}{4}, f(2)=6\) ta có bảng biến thiên hàm số \(y=f(x)\) trên \([-1 ; 2]\):

Ta có \(g^{\prime}(x)=3 f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x)-3 f^{\prime}(x)\).

Xét trên đoạn \([-1 ; 2]: g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 f^{\prime}(x)\left[f^{2}(x)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow f^{\prime}(x)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=2\end{array}\right.\)

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow \min _{[-1 ; 2]} g(x)=g(-1)=f^{3}(-1)-3 f(-1)=\frac{1573}{64}\).