Câu hỏi:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) và điểm \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính \[\cos \left( {AB,\,DM} \right)\].
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$.
Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM}$.
Ta có $|\overrightarrow{AB}| = a$.
$|\overrightarrow{DM}|^2 = DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2CD \cdot CM \cdot \cos(60^\circ) = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$.
Suy ra $|\overrightarrow{DM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\cos(AB, DM) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM}$.
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}) = a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - 60^\circ) = a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CM}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CM}) = a \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CM})$.
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $CM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$
Suy ra $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.
Ta có $|\overrightarrow{AB}| = a$.
$|\overrightarrow{DM}|^2 = DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2CD \cdot CM \cdot \cos(60^\circ) = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$.
Suy ra $|\overrightarrow{DM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\cos(AB, DM) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
