Câu hỏi:

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng

$\left( {ACD} \right)$;

$\left( {ABD} \right)$;

$\left( {BCD} \right)$;

$\left( {ABC} \right)$.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
Do đó, $MN // BC$.
Mà $BC$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ nên $MN$ song song với mặt phẳng $(BCD)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu trắc nghiệm giữa HK1 Toán 11 - Cánh Diều - Đề 1

17/09/2025

0 lượt thi

0 / 44

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 35:

Cho tứ diện $ABCD$ có $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$, $Q$ thuộc cạnh$AB$ sao cho $AQ = 2QB$, $P$ là trung điểm của $AB$. Khi đó

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $BG = \frac{2}{3}BM$.
Vì $AQ = 2QB$ nên $\frac{AQ}{AB} = \frac{2}{3}$.
Xét tam giác $ABM$ có $\frac{BG}{BM} = \frac{AQ}{AB} = \frac{2}{3}$ nên $GQ \parallel AM$ (định lý Talet đảo).
Mà $AM \subset (ABD)$ và $(ABD) \cap (BCD) = D$ nên $GQ \parallel (BCD)$.

Câu 36:

Giải các phương trình lượng giác:

a) \[\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = \sqrt 3 \]; b) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này yêu cầu giải hai phương trình lượng giác, nhưng không cung cấp các lựa chọn đáp án. Vì vậy, không thể chọn một đáp án cụ thể. Dưới đây là hướng dẫn giải từng phương trình:

Phương trình a) $\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = \sqrt 3 $

Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{3} - 3x)} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + 3x} \right)$.

Do đó, phương trình trở thành $\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow 0 = \sqrt 3$, điều này vô lý. Vậy phương trình a) vô nghiệm.

Phương trình b) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Ta có $\sin x + \sin 3x = 2\sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x \cos x$.

Do đó, phương trình trở thành $\sin 2x + 2\sin 2x \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x(1 + 2\cos x) = 0$.

$\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l}\sin 2x = 0 \\ 1 + 2\cos x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = k\pi \\ \cos x = -\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{k\pi }{2} \\ x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Câu 37:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang (hai đáy $AB > CD$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$

a) Tìm giao điểm $P$ của $SC$ và mp$\left( {ADN} \right)$

b) Biết $AN$ cắt $DP$ tại $I$. Chứng minh $SI\,{\rm{//}}\,AB$. Tứ giác $SABI$ là hình gì?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này không phải là trắc nghiệm và yêu cầu giải một bài toán hình học không gian. Cần có hình vẽ và các bước chứng minh cụ thể để giải quyết bài toán này.
a) Để tìm giao điểm $P$ của $SC$ và $(ADN)$, ta cần xác định vị trí tương đối của $SC$ và mặt phẳng $(ADN)$ rồi tìm giao điểm nếu có.
b) Để chứng minh $SI$ song song với $AB$ và xác định hình dạng của tứ giác $SABI$, cần sử dụng các tính chất của hình thang, trung điểm, và các định lý về đường thẳng song song trong không gian. Các bước giải chi tiết sẽ bao gồm việc xác định các đường thẳng và mặt phẳng liên quan, chứng minh tính song song, và sử dụng các tính chất hình học để xác định tứ giác.

Câu 38:

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x = 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$, với $t$ là thời gian tính bằng giây và $x$ là quãng đường tính bằng \[{\rm{cm}}\]. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Phương trình dao động điều hòa: $x = 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$.

Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$, tức là:

$3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Rightarrow 4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên.

$\Rightarrow 4t = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + k = \frac{7}{6} + k \Rightarrow t = \frac{7}{24} + \frac{k}{4}$.

Xét $0 < t < 5$, ta có:

$0 < \frac{7}{24} + \frac{k}{4} < 5 \Rightarrow -\frac{7}{24} < \frac{k}{4} < 5 - \frac{7}{24} = \frac{113}{24} \Rightarrow -\frac{7}{6} < k < \frac{113}{6} \approx 18.83$.

Vì $k$ là số nguyên, nên $k$ có thể nhận các giá trị từ -1 đến 18. Tổng cộng có 20 giá trị.

Vậy, trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần. Tuy nhiên, cần kiểm tra lại thời điểm ban đầu:

Tại $t=0$, $x = 3cos(-\frac{2\pi}{3}) = 3(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$ (chưa qua vị trí cân bằng).

Xét các nghiệm:

$t = \frac{7}{24} + \frac{k}{4}$

$k = -1 => t = \frac{7}{24} - \frac{1}{4} = \frac{1}{24} > 0 $

$k = 0 => t = \frac{7}{24} $

$k = 18 => t = \frac{7}{24} + \frac{18}{4} = \frac{7}{24} + \frac{108}{24} = \frac{115}{24} < 5$

Vậy, số lần vật đi qua vị trí cân bằng là 20.

Câu 39:

Một cung tròn có độ dài bằng bán kính. Khi đó số đo bằng radian của cung tròn đó là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi $l$ là độ dài cung tròn, $r$ là bán kính của đường tròn, và $\alpha$ là số đo góc ở tâm chắn cung đó (tính bằng radian). Ta có công thức $l = r\alpha$.
Theo đề bài, độ dài cung tròn bằng bán kính, tức là $l = r$.
Thay vào công thức, ta có $r = r\alpha$.
Suy ra $\alpha = 1$ radian.

Câu 40:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.