Câu hỏi:

Phương pháp giải

Công thức tính tứ phân vị.

Lời giải

Ta có \(n=20\). Khi đó \(\frac{3}{4} .20=15\) và \(1+3+8<15<1+3+8+6\).

Vậy tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \([12 ; 13)\).

Phương pháp giải

Mối quan hệ vuông góc.

Lời giải

Gọi \(H\) là trung điểm của CD suy ra \(A H \perp C D\)

Mà \(\left\{\begin{array}{l}(A C D) \perp(B C D) \\ (A C D) \cap(B C D)=C D\end{array}\right.\)

Suy ra \(A H \perp(B C D)\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A B\) nên \(C M \perp A B\)

Và \(\left\{\begin{array}{l}(A B C) \perp(A B D) \\ (A B C) \cap(A B D)=A B\end{array} \Rightarrow C M \perp D M\right.\).

\(\Delta A B C=\triangle A B D \Rightarrow M C=D M \Rightarrow \Delta M C D\) vuông cân tại \(M\).

Đặt \(C D=x \Rightarrow A H^{2}=B H^{2}=a^{2}+\frac{x^{2}}{4} \Leftrightarrow A B^{2}=A H^{2}+B H^{2}=2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}\).

Ta có

\(M H=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}} \Leftrightarrow M H=\frac{\sqrt{2}}{2} C D \Leftrightarrow \sqrt{2 a^{2}+\frac{x^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x \Leftrightarrow 4 a^{2}=3 x^{2} \Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}} a.\)

Phương pháp giải

Tính giới hạn.

Lời giải

Ta có \(\lim \frac{-3 n^{3}+2 n^{2}-4}{a n^{3}-1}=\lim \frac{n^{3}\left(-3+\frac{2}{n}-\frac{4}{n^{3}}\right)}{n^{3}\left(a-\frac{1}{n^{3}}\right)}=\frac{-3}{a}=\frac{1}{2}\).

Suy ra \(a=-6 \Rightarrow a^{2}+3 a=18\).

Phương pháp giải

Công thức đạo hàm.

Lời giải

\(f(x)=x \cdot[(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)]\)

Khi đó ta có:

\(f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)+x[(x-1)(x-2) \cdots(x-2024)]^{\prime} \\ f(0)=(-1)(-2) \cdots(-2024)=1.2 \cdots 2024=2024!\)

Phương pháp giải

Tính giá trị trung bình. Tính độ lệch chuẩn.

Lời giải

Vận động viên A:

Giá trị trung bình: \(\overline{x_{A}}=\frac{10,15 \cdot 2+10,45 \cdot 10+10,75 \cdot 5+11,05.3}{2+10+5+3}=\frac{2117}{200}\).

Phương sai:

\(s_{A}^{2}=\frac{1}{20}\left(10,15^{2} .2+10,45^{2} .10+10,75^{2} .5+11,05^{2} .3\right)-\left(\frac{2117}{200}\right)^{2}=\frac{2691}{40000}\)

Độ lệch chuẩn: \(s_{A}=\sqrt{\frac{2691}{40000}} \approx 0,26\).

Vận động viên B:

Giá trị trung bình: \(\overline{x_{B}}=\frac{10,15 \cdot 3+10,45 \cdot 7+10,75.9+11,05.6}{3+7+9+6}=\frac{5333}{500}\).

Phương sai:

\(s_{A}^{2}=\frac{1}{25}\left(10,15^{2} .3+10,45^{2} \cdot 7+10,75^{2} \cdot 9+11,05^{2} \cdot 6\right)-\left(\frac{5333}{500}\right)^{2}=\frac{1296}{15625}\)

Độ lệch chuẩn: \(s_{B}=\sqrt{\frac{1296}{15625}} \approx 0,28\).

Vì \(s_{A}<s_{B}\) nên vận động viên \(A\) có thành tích luyện tập ổn định hơn.