Câu hỏi:

Ta có $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ IV.
Trong góc phần tư thứ IV, $\sin \alpha < 0$ và $\cos \alpha > 0$.
Ta có $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ nên $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{16}{25}} = \frac{1}{\frac{41}{25}} = \frac{25}{41}$.
Suy ra $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.
Ta có $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$.
Vậy $\sin \alpha = -\frac{4}{\sqrt{41}}$ và $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$. Đáp án C sai. Đáp án đúng là $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt {41} }, \cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt {41} }$.
Tính $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, và $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
Vì $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$, ta có $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{4}{5}$ hay $\sin \alpha = -\frac{4}{5}\cos \alpha$.
Thay vào $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta được $\left(-\frac{4}{5}\cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{16}{25}\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{41}{25}\cos^2 \alpha = 1$.
Suy ra $\cos^2 \alpha = \frac{25}{41}$ hay $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (góc phần tư thứ IV) nên $\cos \alpha > 0$. Do đó $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.
Khi đó $\sin \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$. Vậy không có đáp án đúng.