Bài toán về vectơ trong tam giác

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD. Vectơ nào dưới đây bằng $\overrightarrow {CD} $.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Trong hình bình hành ABCD, ta có các cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$. Vậy đáp án đúng là D.

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3; -1) và N(2; -5). Điểm nào sau đây thẳng hàng với M, N?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để ba điểm M, N, và một điểm khác (ví dụ, P) thẳng hàng, vector $\vec{MN}$ và vector $\vec{MP}$ phải cùng phương, tức là tỉ lệ.
Ta có $\vec{MN} = (2-3; -5-(-1)) = (-1; -4)$.
Xét từng đáp án:

A. P(0; 13): $\vec{MP} = (0-3; 13-(-1)) = (-3; 14)$. Kiểm tra tỉ lệ: $\frac{-3}{-1} = 3 \neq \frac{14}{-4} = -3.5$. Vậy P không thẳng hàng với M, N.
B. Q(1; -8): $\vec{MQ} = (1-3; -8-(-1)) = (-2; -7)$. Kiểm tra tỉ lệ: $\frac{-2}{-1} = 2 \neq \frac{-7}{-4} = 1.75$. Vậy Q không thẳng hàng với M, N.
B. Q(1; -8): corrected calculation $\vec{MQ} = (1-3, -8 - (-1)) = (-2, -7)$ This appears to be incorrect in the original calculation. However if we use $\vec{MQ}=(1-3;-8+1)=(-2;-7)$ then the ratio is $\frac{-2}{-1}=2$ and $\frac{-7}{-4}=\frac{7}{4}$ still not equal. However if we instead consider $\vec{NQ}=(1-2;-8+5)=(-1;-3)$ then the ratio between this and $\vec{MN}=(-1;-4)$ is $\frac{-1}{-1}=1$ and $\frac{-3}{-4}=0.75$. Hence not equal. We were supposed to verify if the vectors are scalar multiples not compare the $\vec{MQ}$ from B with $\vec{MN}$. $\frac{-1}{-1}=1 \frac{-3}{-4}=0.75$. Consider calculating gradient between points: gradient between $M(3;-1)$ and $N(2;-5)$ is $\frac{-5+1}{2-3}=4$. The line equation is $y+1=4(x-3)$ so $y=4x-13$.
- A: $13 \neq 4(0)-13=-13$ not on the line
- B: $-8 \neq 4(1)-13=-9$ not on the line
- Incorrect point C and D are impossible to determine and are redundant.
- However $Q$ is closed $-9 \approx -8$ but is likely incorrect. $4x -13$. $-8 = 4x -13$, $4x=5$ so $x=1.25$ and its close!

Let's instead calculate equation from $M$ to $N$. $M(3;-1)$ and $N(2;-5)$. $rac{y+1}{x-3} = rac{-5+1}{2-3}=4$. So $y=4x-13$. Check B. $Q(1;-8)$, $-8 = 4(1)-13$ so $-8 = -9$. Not correct. However it is $Q(1;-9)$ that is in the line. So $Q$ is more close than A. I think this is wrong. lets check C and D C: H(2;1) gradient with M(3;-1) is $\frac{1+1}{2-3} = -2$ not 4 so is wrong. D: K(3;1), gradient with M is $\frac{1+1}{3-3}$ which is undefined. So is not equal. There is an error. If we test Q(1;-9) Then $\vec{MQ}=(1-3;-9+1)=(-2;-8)$. $\vec{MN}=(-1,-4)$ then ratio is $2$ and $2$. so the answer is $Q(1;-9)$. But $-9$ is not any of the answers.

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 2cm, AC = 7cm. Điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ AM.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$
Vì M là trung điểm của BC nên $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{53}}{2}$
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
$AM = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{53}}{2}$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{{\sqrt {53} }}{2}$ cm

Câu 5:

Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo AC, BD lần lượt là 8 cm và 6 cm. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow {AB} $.

Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo AC, BD lần lượt là 8 (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường, suy ra:
$OA = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$OB = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pythago ta có:
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
Vậy độ dài vecto $\overrightarrow{AB}$ = 5cm.

Câu 6:

Vectơ có điểm đầu là P điểm cuối là Q được kí hiệu là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Kí hiệu vectơ có điểm đầu P và điểm cuối Q là $\overrightarrow{PQ}$.

Câu 7:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm cách cạnh BC, CA, AB. Biết M(0; 1); N(-1; 5); P(2; -3). Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:

Lời giải: