Câu hỏi:

Phương pháp giải

Xác định góc nhị diện \([\mathrm{A}, \mathrm{BC}, \mathrm{D}]\).

Lời giải

Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{H}\) lần lượt là trung điểm của \(\mathrm{BC}, \mathrm{CD}\).

Do \(\triangle B C D\) vuông tại \(B\) nên \(B H=C H=D H\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\triangle B C D\).

Mà \(A B=A C=A D\) nên \(A H\) là đường cao kẻ từ \(A\) xuống \((B C D)\) hay \(A H \perp(B C D)\).

\(\Rightarrow A H \perp B C\).

\(\mathrm{M}, \mathrm{H}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}, \mathrm{CD}\) nên MH là đường trung bình của \(\triangle B C D\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}M H=\frac{1}{2} B D=\frac{a \sqrt{6}}{6} .  M H / / B D\end{array}\right.\).

Mà \(M D \perp B C\) nên \(M H \perp B C\). (2)

Từ (1), (2) suy ra: \(B C \perp(A M H)\).

Suy ra: \(\left\{\begin{array}{l}B C \perp A M  B C \perp M H\end{array} \Rightarrow[A, B C, D]=\widehat{A M H}\right.\).

Lại có: \(A H=\sqrt{A C^{2}-C H^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{a \sqrt{2}}{2}\).

\(\Rightarrow \tan \widehat{A M H}=\frac{A H}{M H}=\sqrt{3} \Rightarrow \widehat{A M H}=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos \widehat{A M H}=\frac{1}{2}\).

Phương pháp giải

Số ước nguyên dương của số A có phân tích thành thừa số nguyên tố \(A=x_{1}^{n_{1}} \cdot x_{2}^{n_{2}} \ldots x_{k}^{n_{k}}\) là \(\left(n_{1}+1\right)\left(n_{2}+1\right) \ldots\left(n_{k}+1\right)\).

Lời giải

Ta có: \(1605632=2^{15} .7^{2}\)

Suy ra số các ước nguyên dương của 1605632 là \((15+1)(2+1)=48\).

Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega)=48\).

Trong đó, số các số chia hết cho 7 là: \((15+1) \cdot 2=32\).

Xác suất cần tìm là: \(P=\frac{32}{48}=\frac{2}{3}\).

Phương pháp giải

Dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm hoặc dùng tính chất cơ bản của số mũ, lũy thừa để giải nhanh.

Phương pháp logarit hóa.

Lời giải

Ta có : \(2^{2 x-1}=8 \Leftrightarrow 2 x-1=3 \Leftrightarrow x=2\).

Phương pháp giải

Tính độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow{n_{d_{1}}}=(4 ;-3) ; \overrightarrow{n_{d_{2}}}=(3 ; 4)\).

Do \(A\) không thuộc hai đường thẳng \(d_{1} ; d_{2}\) và \(d_{1} \perp d_{2}\) nên độ dài hai cạnh kề nhau của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ \(A\) đến hai đường thẳng \(d_{1} ; d_{2}\).

Ta có:

\(d\left(A ; d_{1}\right)=\frac{|4.2-3.1+5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=2\).

\(d\left(A ; d_{2}\right)=\frac{|3.2+4.1-5|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=1\).

\(\Rightarrow S=d\left(A ; d_{1}\right) \cdot d\left(A ; d_{2}\right)=2 \cdot 1=2\).

Phương pháp giải

Vận tốc của vật là \(v(t)=s^{\prime}(t)\).

Tìm giá trị lớn nhất của \(v(t)\).

Lời giải

Vận tốc tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=s^{\prime}(t)=-\frac{3}{2} t^{2}+18 t\) với \(t \in[0 ; 10]\).

Ta có \(: v^{\prime}(t)=-3 t+18=0 \Leftrightarrow t=6\).

Suy ra: \(v(0)=0 ; v(10)=30 ; v(6)=54\).

Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng \(54(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).