Câu hỏi:

Đặt \(2^{x}=t \Rightarrow t \in(0;+\infty)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(t^{2}-2 m \cdot t+2 m+2=0\)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt dương.

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ 2 m>0 \\ 2 m+2>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-2 m-2>0 \\ m>0 \\ m>-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}m<1-\sqrt{3} \\ m>1+\sqrt{3}\end{array} \Leftrightarrow m>1+\sqrt{3} \text {. }\right.} \\ m>0\end{array}\right.\right.\right.\)

Sử dụng phương pháp trên ta có chu kỳ của hàm số là \(T=\frac{2 \pi}{5}\).

Ta có

\(\sin \left(5 x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}5 x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ 5 x-\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5 x=\frac{5 \pi}{12}+k 2 \pi \\ 5 x=\frac{13 \pi}{12}+k 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{12}+\frac{2}{5} k \pi \\ x=\frac{13 \pi}{60}+\frac{2}{5} k \pi\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\right.\)

Gọi A là biến cố người thứ nhất câu được cá. B là biến cố người thứ hai câu được cá. C là biến cố người thứ ba câu được cá.

Khi đó ta có: \(P(A)=0,5; P(B)=0,4; P(C)=0,3\)

Suy ra \(P(\bar{A})=0,5; P(\bar{B})=0,6; P(\bar{C})=0,7\)

Gọi \(X\) là biến cố có đúng một người câu được cá. Khi đó có 3 trường hợp. Ta có:

\(\begin{align}P(X) & =P(A) P(\bar{B}) P(\bar{C})+P(\bar{A}) P(B) P(\bar{C})+P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(C) \\&=0,5.0,6.0,7+0,5.0,4.0,7+0,5.0,6.0,3=0,44\end{align}\)

Gọi A là biến cố người thứ nhất câu được cá. B là biến cố người thứ hai câu được cá. C là biến cố người thứ ba câu được cá.

Khi đó ta có: \(P(A)=0,5; P(B)=0,4; P(C)=0,3\)

Suy ra \(P(\bar{A})=0,5; P(\bar{B})=0,6; P(\bar{C})=0,7\)

Gọi Y là biến cố có đúng hai người câu được cá. Khi đó có 3 trường hợp xảy ra.

Ta có:

\(\begin{align}P(Y) & =P(A) P(B) P(\bar{C})+P(\bar{A}) P(B) P(C)+P(A) P(\bar{B}) P(C) \\& =0,5.0,4.0,7+0,5.0,4.0,3+0,5.0,6.0,3=0,29\end{align}\)