Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'B'$.
Ta có $BC \perp AM$ và $BC \perp AA'$ nên $BC \perp (AA'M)$.
Suy ra $(A'B'C') \perp (AA'M)$.
Trong $(AA'M)$, kẻ $AK \perp A'M$ tại $K$.
Khi đó $AK$ là đường vuông góc chung của $(A'B'C')$ và $(AA'M)$ nên $d(A,(A'B'M)) = AK$.
Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.
$\Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.
Kẻ $AE \perp (A'B'M)$ tại $E$. Khi đó $AE$ là khoảng cách cần tìm.
Ta có $\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{AK^2}$.
$AH = \frac{AA' \cdot AB'}{\sqrt{AA'^2 + AB'^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{3a^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{1}{AE^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{5}{3a^2} = \frac{9}{3a^2} = \frac{3}{a^2}$.
$\Rightarrow AE = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$d(A,(A'B'M)) = \frac{AA' \cdot AM}{\sqrt{AA'^2 + AM^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2 + \frac{3a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\sqrt{\frac{15a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{15}}{5} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5}$
Gọi $I$ là trung điểm $B'C'$. Ta có $AI \perp B'C'$ và $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ $AH \perp A'I$. Khi đó $AH = d(A,(A'B'M))$.
$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$
$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.
$ Ta có \frac{d(A,(A'B'M))}{d(M,(A'B'M))} = \frac{AI}{MI} = 1$.
Gọi $d = d(A,(A'B'M))$.
$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.
$d = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.