JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) là

A.
A. \(a\).
B.
B. \(2a\).
C.
C. \(a\sqrt 2 \).
D.
D. \(a\sqrt 3 \).
Trả lời:

Đáp án đúng: C


Vì $CD$ song song với $AB$, nên khoảng cách giữa $SB$ và $CD$ bằng khoảng cách giữa $CD$ và mặt phẳng $(SAB)$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, kẻ $AH \perp SB$ tại $H$. Ta có $CD \perp (SAD)$ và $AH \subset (SAB)$ suy ra $d(CD, (SAB)) = d(A, (SAB)) = AH$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có: $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{2}{a^2}$ $AH = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ Vậy khoảng cách giữa $SB$ và $CD$ là $a\sqrt{2}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề ôn luyện Chủ đề Hình học không gian - Đề 1

10/09/2025
0 lượt thi
0 / 22
Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) và điểm \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính \[\cos \left( {AB,\,DM} \right)\]
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$.

Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM}$.


  • $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}) = a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - 60^\circ) = a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.

  • $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CM}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CM}) = a \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CM})$.

    Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $CM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

    $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$

    Suy ra $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.


Do đó, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM} = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}$.

Ta có $|\overrightarrow{AB}| = a$.

$|\overrightarrow{DM}|^2 = DM^2 = CD^2 + CM^2 - 2CD \cdot CM \cdot \cos(60^\circ) = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4}$.

Suy ra $|\overrightarrow{DM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $\cos(AB, DM) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DM}|} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Biết số đo góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng \(45^\circ \). Tỉ số diện tích của hai tam giác \(SBC\) và \(ABC\) bằng
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Vì $(SBC)$ và $(ABC)$ có giao tuyến là $BC$ và $SA \perp (ABC)$ nên góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SHA} = 45^\circ$. Ta có $AH \perp BC$ và $SA \perp BC$ nên $BC \perp (SHA)$, suy ra $BC \perp SH$. Diện tích tam giác $SBC$ là $\frac{1}{2} \cdot SH \cdot BC$. Diện tích tam giác $ABC$ là $\frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC$. Vậy $\frac{S_{SBC}}{S_{ABC}} = \frac{SH}{AH}$. Xét tam giác $SHA$ vuông tại $A$ có $\widehat{SHA} = 45^\circ$ nên $tan 45^\circ = \frac{AH}{SA} = 1$, suy ra $AH = SA$. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $SHA$, ta có: $SH = \sqrt{SA^2 + AH^2} = \sqrt{AH^2 + AH^2} = AH\sqrt{2}$. Vậy $\frac{S_{SBC}}{S_{ABC}} = \frac{SH}{AH} = \frac{AH\sqrt{2}}{AH} = \sqrt{2}$.
Câu 8:
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \(2\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(CD'\) bằng
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có $AB' // CD'$ nên khoảng cách giữa $AB'$ và $CD'$ bằng khoảng cách giữa $AB'$ và mặt phẳng $(CDD'C')$.

Chọn mặt phẳng $(ABB'A')$ song song với $(CDD'C')$. Khi đó khoảng cách giữa $AB'$ và $(CDD'C')$ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$, và bằng cạnh của hình lập phương, tức là $2$.
Câu 9:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\,AB = a\), cạnh bên \(SC = 3a\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB = a$ nên $AC = a$.

Diện tích đáy $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a^2$.

Chiều cao của hình chóp là $SC = 3a$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot SC = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot 3a = \frac{1}{2}a^3$.
Câu 10:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,\,AB = a\) và \(A'B = a\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, có $AB=a$ nên $BC=a$. Diện tích đáy $S = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a^2$.

Vì lăng trụ đứng nên $A'B$ là cạnh huyền của tam giác vuông $AA'B$.

$AA' = \sqrt{A'B^2 - AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - a^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Thể tích lăng trụ là $V = S.AA' = \frac{1}{2}a^2.a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

Vậy đáp án là D.
Câu 11:
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có thể tích là V và độ dài cạnh bên \[AA' = 6\]. Trên các cạnh \[A'A,B'B,C'C\] lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \[AM = 2,BN = x,CP = y\] với x, y là các số dương thỏa mãn \[xy = 12\]. Biết rằng thể tích khối đa diện \[ABC.MNP\] bằng \[\frac{1}{2}V\]. Giá trị của \[{x^2} + {y^2}\] bằng
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 12:
Cho hình chóp \(S.ABC\), trên các cạnh AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \[AM = 2MB,BN = 4NC,SP = PC\]. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.BMN và A.CPN là
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh có độ dài bằng \(a\); gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\), \(BB'\)

a) Góc giữa hai đường thẳng \(AM\)và \[BC'\] bằng góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \[MN\]

b) Đoạn thẳng \(A'M\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

c) Đoạn thẳng \(MN\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

d) Góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BC'\) bằng \(60^\circ \)

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 14:

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\)

a) \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) thì \(MH = \frac{1}{3}SO\)

c) Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SAO}\)

d) Tan của góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{1}{3}\)

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 15:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) và \(AC = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tạo với \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(60^\circ \)

a) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\). Khi đó, \(MH \bot AB.\)

b) Số đo \[\widehat {SMH}\] bằng \(60^\circ \)

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(SM\). Khi đó, \(HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

d) Gọi \(I\) là trung điểm \(SC\) Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT GD KT&PL Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu1137 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu953 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu1057 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu443 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu535 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Vật Lí Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Vật Lí Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

181 tài liệu503 lượt tải